La teoría de la probabilidad. Probabilidad de un evento, evento ocasional (teoría de la probabilidad). desarrollos independientes e incompatibles en la teoría de la probabilidad

Es poco probable que muchas personas piensan que es posible contar eventos, que hasta cierto punto accidental. Para ponerlo en palabras sencillas, es realista para saber de qué lado del cubo en los dados caerá la próxima vez. Fue esta pregunta para hacer dos grandes científicos, sentó las bases de esta ciencia, la teoría de la probabilidad, la probabilidad de que el evento en el que el estudiado ampliamente suficiente.

generación

Si intenta definir un concepto como el de la teoría de la probabilidad, obtenemos lo siguiente: esta es una de las ramas de las matemáticas que estudia la constancia de los acontecimientos al azar. Claramente, este concepto realmente no revela la esencia, por lo que es necesario considerar con más detalle.

Me gustaría comenzar con los fundadores de la teoría. Como se mencionó anteriormente, había dos, que por Ferma y Blez Paskal. Ellos fueron el primer intento de uso de fórmulas y cálculos matemáticos para calcular el resultado de un evento. En general, los rudimentos de esta ciencia es aún en la Edad Media. Mientras que varios pensadores y científicos han tratado de analizar los juegos de casino como la ruleta, dados, y así sucesivamente, por lo tanto establecer un patrón, y el porcentaje de pérdida de un número. La fundación también se colocó en el siglo XVII fueron los estudiosos mencionados.

En un principio, su trabajo no podía atribuirse a los grandes logros en este campo, después de todo, lo que hicieron, que eran simplemente hechos y experimentos empíricos eran claramente sin necesidad de utilizar fórmulas. Con el tiempo, se volvió a lograr grandes resultados, que aparecieron como resultado de la observación del elenco de los huesos. Está este instrumento ha ayudado a que la primera fórmula distinta.

partidarios

Por no hablar de un hombre como Christiaan Huygens, en el proceso de estudiar el tema que lleva el nombre de "teoría de la probabilidad" (probabilidad del evento pone de relieve que en esta ciencia). Esta persona es muy interesante. Él, al igual que los científicos presentados anteriormente se trató en forma de fórmulas matemáticas para deducir un patrón de sucesos aleatorios. Es de destacar que no compartía con Pascal y Fermat, es decir toda su obra no se solapa con las mentes. Huygens deriva los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad.

Un hecho interesante es que su trabajo llegó mucho antes de que los resultados de los trabajos de pioneros, para ser exactos, veinte años antes. Hay sólo entre los conceptos identificados fueron:

• como el concepto de valores de probabilidad azar;
• expectativa para el caso discreto;
• teoremas de adición y multiplicación de las probabilidades.

Además, no se puede olvidar Yakoba Bernoulli, que también contribuyó al estudio del problema. A través de su cuenta, ninguno de los cuales son pruebas independientes, que fue capaz de proporcionar la prueba de la ley de los grandes números. A su vez, los científicos de Poisson y Laplace, que trabajó a principios del siglo XIX, fueron capaces de demostrar el teorema originales. A partir de ese momento para analizar los errores en las observaciones que empezamos a utilizar la teoría de probabilidades. Partido en torno a esta ciencia no podía y científicos rusos, en lugar de Markov, Chebyshev y Dyapunov. Se basan en el trabajo realizado grandes genios, asegurado el sujeto como una rama de las matemáticas. Hemos trabajado estas cifras a finales del siglo XIX, gracias a su contribución, se han demostrado fenómenos tales como:

• ley de los grandes números;
• Teoría de las cadenas de Markov;
• El teorema del límite central.

Así, la historia del nacimiento de la ciencia y con las principales personalidades que contribuyeron a ella, todo está más o menos claro. Ahora es el momento de profundizar en todos los hechos.

conceptos básicos

Antes de tocar las leyes y teoremas deben aprender los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad. Evento que ocupa un papel dominante. Este tema es bastante extensa, pero no será capaz de entender todo lo demás sin ella.

Evento en teoría de la probabilidad – se Cualquier conjunto de resultados del experimento. Los conceptos de este fenómeno no es suficiente. Por lo tanto, Lotman científico que trabaja en esta área, ha expresado que en este caso estamos hablando de lo "sucedido, a pesar de que no podría suceder."

Los sucesos aleatorios (teoría de la probabilidad presta especial atención a ellos) – es un concepto que implica absolutamente cualquier fenómeno que tenga la posibilidad de ocurrir. O, por el contrario, este escenario no puede suceder en el desempeño de una variedad de condiciones. También vale la pena saber que ocupan todo el volumen de los fenómenos que ocurren eventos simplemente al azar. La teoría de probabilidades sugiere que todas las condiciones se pueden repetir constantemente. Es su conducta ha sido llamado "experiencia" o "prueba".

Hecho relevante – se trata de un fenómeno que es cien por ciento en esta prueba suceda. En consecuencia, el suceso imposible – esto es algo que no sucede.

La combinación de pares de Acción (convencionalmente el caso A y el caso B) es un fenómeno que se produce de forma simultánea. Ellos se conocen como AB.

La cantidad de pares de eventos A y B – C es, en otras palabras, si al menos uno de ellos (A o B), se obtiene un C. La fórmula fenómeno descrito se escribe como C = A + B.

desarrollos incompatibles en la teoría de la probabilidad implica que los dos casos son mutuamente excluyentes. Al mismo tiempo que están en cualquier caso no puede ocurrir. actos conjuntos en teoría de la probabilidad – es su antípoda. La implicación es que si A ha pasado, que no se opone a C.

Oponerse al evento (teoría de la probabilidad los considera en gran detalle), son fáciles de entender. Lo mejor es tratar con ellos de comparación es. Son casi los mismos desarrollos como incompatibles en la teoría de la probabilidad. Sin embargo, su diferencia es que uno de una pluralidad de fenómenos en cualquier caso debería ocurrir.

Igualmente probables eventos – esas acciones, la posibilidad de la repetición es igual. Para que quede claro, se puede imaginar lanzar una moneda: la pérdida de uno de sus lados es igualmente probable otra pérdida.

es más fácil tener en cuenta el ejemplo de favorecer el evento. Supongamos que hay un episodio en el episodio A. El primero – un rollo de un troquel con la llegada de un número impar, y el segundo – el aspecto del número cinco en los dados. Entonces resulta que A es favorecida V.

eventos independientes en teoría de la probabilidad se proyectan sólo en dos o más ocasiones e implican independiente de cualquier acción por parte de la otra. Por ejemplo, A – en la pérdida de lanzamiento colas moneda, y B – jack dostavanie desde la cubierta. Tienen eventos independientes en la teoría de probabilidades. A partir de este momento se hizo evidente.

eventos dependientes en teoría de la probabilidad también es permisible sólo por su conjunto. Implican la dependencia de uno en el otro, es decir, el fenómeno puede ocurrir en sólo en el caso en que A ya ha ocurrido o, por el contrario, no sucedió cuando es – la principal condición para B.

El resultado del experimento aleatorio que consiste en un único componente – es sucesos elementales. La teoría de probabilidades dice que se trata de un fenómeno que se realiza una sola vez.

fórmula básica

Por lo tanto, lo anterior se consideraron el concepto de "evento", "teoría de la probabilidad", también se le dio definiciones de los términos clave de esta ciencia. Ahora es el momento para familiarizarse con las fórmulas importantes. Estas expresiones se confirmó matemáticamente todos los principales conceptos en un tema tan difícil como la teoría de la probabilidad. Probabilidad de un suceso y juega un papel muy importante.

Mejor empezar con las fórmulas básicas de la combinatoria. Y antes de empezar a ellos, vale la pena considerar lo que es.

Combinatoria – es sobre todo una rama de las matemáticas, que ha estado estudiando un gran número de enteros, y varias permutaciones de los dos números y sus elementos, diversos datos, etc., dando lugar a una serie de combinaciones … Además de la teoría de la probabilidad, esta industria es importante para la estadística, la informática y la criptografía.

Por lo que ahora se puede pasar a la presentación de los mismos y sus fórmulas de definición.

El primero de éstos es la expresión para el número de permutaciones, es como sigue:

P_n = n ⋅ (n – 1) ⋅ (n – 2) … 3 2 1 ⋅ ⋅ = n!

La ecuación se aplica sólo en el caso si los elementos difieren sólo en el orden de disposición.

Ahora fórmula colocación, parece que esto se considerará:

A_n ^ m = n ⋅ (n – 1) ⋅ (N-2) ⋅ ⋅ … (n – m + 1) = n! : (N – m)!

Esta expresión es aplicable no sólo al único elemento de colocación de la orden, sino también a su composición.

La tercera ecuación de la combinatoria, y es esta última, llamada la fórmula para el número de combinaciones:

C_n ^ m = n! : ((N – m))! : M!

Combinado llamado muestreo, que no están ordenadas, respectivamente, y se aplica a esta regla.

Con las fórmulas de la combinatoria llegaron a entender fácilmente, ahora se puede ir a la definición clásica de la probabilidad. Parece que esta expresión de la siguiente manera:

P (A) = m: n.

En esta fórmula, m – es el número de condiciones propicias para el caso de A, y n – número de eventos por igual y completamente todos los elementales.

Hay muchas expresiones en el artículo no serán considerados como cualquier cosa menos afectados serán los más importantes, tales como, por ejemplo, la probabilidad de eventos asciende:

P (A + B) = P (A) + P (B) – este teorema para añadir sólo eventos mutuamente exclusivos;

P (A + B) = P (A) + P (B) – P (AB) – pero esto es sólo para añadir compatible.

La probabilidad de que las obras de eventos:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) – este teorema para eventos independientes;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) – y esto por el dependiente.

lista de composición de fórmula eventos. La teoría de la probabilidad nos dice el teorema Bayes, que se ve así:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, …, n

En esta fórmula, H _1, H _2, …, H _n – es un conjunto completo de hipótesis.

En esta parada, la aplicación de las muestras de fórmulas ahora será considerado para tareas específicas de la práctica.

ejemplos

Si se estudia con cuidado cualquier rama de las matemáticas, que no está exenta de ejercicios y soluciones de muestra. Y la teoría de la probabilidad: eventos, ejemplos aquí son un componente integral de confirmar los cálculos científicos.

La fórmula para el número de permutaciones

Por ejemplo, de una baraja de cartas tienen treinta, a partir de la nominal. La siguiente pregunta. ¿Cuántas maneras de doblar la cubierta de manera que las tarjetas con un valor nominal de uno y dos no se encuentran al lado?

La tarea se establece, ahora vamos a pasar a tratar con él. En primer lugar es necesario determinar el número de permutaciones de treinta elementos, para este propósito que tomamos la fórmula anterior, resulta P_30 = 30!.

Sobre la base de esta regla, sabemos la cantidad de opciones que hay para fijar la cubierta de muchas maneras, pero se deben deducir de ellas son aquellas en las que la primera y la segunda tarjeta será el próximo. Para ello, comenzar con una variante, cuando el primero se encuentra en el segundo. Resulta que el primer mapa puede tomar veintinueve lugares – desde el primero hasta el vigésimo noveno, y la segunda tarjeta de la segunda a la media, se vuelve veintinueve asientos para los pares de cartas. A su vez, los otros pueden tomar veintiocho asientos, y en cualquier orden. Es decir, para la reordenación de los veinte y ocho cartas han veintiocho opciones P_28 = 28!

El resultado es que si tenemos en cuenta la decisión, cuando la primera tarjeta está en la segunda oportunidad adicional para obtener 29 ⋅ 28! = 29!

Utilizando el mismo método, es necesario calcular el número de opciones redundantes para el caso cuando la primera tarjeta se encuentra debajo del segundo. También obtenido 29 ⋅ 28! = 29!

De esto se deduce que las opciones adicionales 2 ⋅ 29!, Mientras que los medios necesarios para la recogida de la cubierta 30! – 2 ⋅ 29!. Sólo queda por calcular.

30! = 29! ⋅ 30; 30-2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 – 2) = 29! ⋅ 28

Ahora necesitamos multiplicar juntos todos los números del uno al veintinueve años, y luego, al final de todo multiplicado por 28. La respuesta obtenida 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Ejemplos de soluciones. La fórmula para el número de alojamientos

En este problema, es necesario averiguar cuántas hay maneras de poner los quince volúmenes en un estante, pero a condición de que sólo treinta volúmenes.

En esta tarea, la decisión un poco más fácil que el anterior. Utilizando la fórmula ya conocida, es necesario para calcular el número total de treinta y ubicaciones quince volúmenes.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ … ⋅ 28⋅ de (30 – 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Respuesta, respectivamente, será igual al 843 204 931 202 727 360 000.

Desde aquí, tomar la tarea un poco más difícil. Lo que necesita saber cuántos hay maneras de organizar los treinta y dos libros en los estantes, con la condición de que sólo quince volúmenes pueden residir en el mismo estante.

Antes del comienzo de la decisión gustaría aclarar que algunos de los problemas pueden resolverse de varias maneras, y en esto hay dos maneras, pero en uno y la misma fórmula se aplica.

En esta tarea, se puede tomar la respuesta de la anterior, porque no se ha calculado el número de veces que se puede llenar el estante durante quince libros de diferentes maneras. Resultó A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ⋅ … de (30 – 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ⋅ … 16.

El segundo regimiento calcula mediante la fórmula remodelación, ya que se coloca quince libros, mientras que el resto de quince años. Utilizamos fórmula P_15 = 15!.

Resulta que la suma se A_30 ^ 15 ⋅ P_15 maneras, pero, además, el producto de todos los números de treinta a los dieciséis años se multiplicará por el producto de los números del uno al quince, al final resultó el producto de todos los números del uno al treinta años, que es la respuesta 30!

Sin embargo, este problema puede ser resuelto de una manera diferente – más fácil. Para ello, se puede imaginar que hay un estante de una treintena de libros. Todos ellos están situados en este plano, pero debido a que la condición requiere que había dos estantes, una larga nos aserrado por la mitad, dos cumple quince años. De esto resulta que para esta disposición puede ser P_30 = 30!.

Ejemplos de soluciones. La fórmula para el número de combinaciones de

¿Quién es considerado una variante del tercer problema de combinatoria. Es necesario saber cuántas maneras hay de organizar quince libros sobre la condición que debe elegir treinta exactamente lo mismo.

Para la decisión será, por supuesto, aplicar la fórmula para el número de combinaciones. De la condición de que se hace evidente que el orden de los mismos quince libros no es importante. Por lo que inicialmente se necesita averiguar el número total de combinaciones de treinta quince libros.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

Eso es todo. Usando esta fórmula, en el menor tiempo posible para resolver tal problema, la respuesta, respectivamente, igual a 155.117.520.

Ejemplos de soluciones. La definición clásica de probabilidad

Utilizando la fórmula dada anteriormente, se puede encontrar una respuesta en una tarea sencilla. Pero será claramente ver y seguir el curso de acción.

La tarea dado que en una urna hay diez bolas completamente idénticas. De éstos, cuatro y seis amarillo y azul. Tomado de la urna una bola. Es necesario conocer la probabilidad dostavaniya azul.

Para resolver el problema, es necesario designar dostavanie evento bola azul A. Esta experiencia puede tener diez resultados, que, a su vez, primaria y la misma probabilidad. Al mismo tiempo, seis de los diez son favorables para el evento A. Resolver la siguiente fórmula:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Aplicando esta fórmula, aprendimos que la habilidad de obtener la bola azul es 0.6.

Solución del ejemplo. Probabilidad de la suma de eventos

Ahora se presentará una variante, que se resuelve usando la fórmula de probabilidad de la suma de eventos. Así pues, en la condición se da que hay dos cajas, en la primera hay una gris y cinco bolas blancas, y en la segunda – ocho grises y cuatro bolas blancas. Como resultado, uno de ellos fue tomado de la primera y segunda cajas. Es necesario averiguar cuál es la probabilidad de que las bolas recibidas sean de color gris y blanco.

Para resolver este problema, es necesario designar eventos.

• Por lo tanto, A – tomó la pelota gris del primer cajón: P (A) = 1/6.
• A '- tomó una bola blanca también del primer cajón: P (A') = 5/6.
• B – extrajo la bola gris de la segunda caja: P (B) = 2/3.
• B '- tomó una bola gris de la segunda caja: P (B') = 1/3.

Por la condición del problema, es necesario que se produzca uno de los eventos: AB 'o A'B. Utilizando la fórmula, obtenemos: P (AB ') = 1/18, P (A'B) = 10/18.

Ahora se usó la fórmula para multiplicar la probabilidad. A continuación, para averiguar la respuesta, es necesario aplicar la ecuación de su adición:

P = P (AB '+ A'B) = P (AB') + P (A'B) = 11/18.

Por lo tanto, utilizando la fórmula, puede resolver problemas similares.

El resultado

El artículo presenta información sobre el tema "Teoría de la Probabilidad", la probabilidad de un evento en el que desempeña un papel crucial. Por supuesto, no todo se tomó en cuenta, pero, sobre la base del texto presentado, teóricamente puede familiarizarse con esta sección de matemáticas. Esta ciencia puede ser útil no sólo en la práctica profesional, sino también en la vida cotidiana. Con su ayuda, puede calcular cualquier posibilidad de un evento.

El texto también tocó fechas significativas en la historia de la aparición de la teoría de la probabilidad como una ciencia, y los nombres de las personas cuyas obras se invirtieron en ella. Así es como la curiosidad humana ha llevado al hecho de que la gente ha aprendido a contar incluso eventos al azar. Una vez que se interesaron en él, pero hoy en día todo el mundo lo sabe. Y nadie dirá lo que nos espera en el futuro, qué otros descubrimientos ingeniosos relacionados con la teoría bajo consideración se comprometerán. Pero una cosa es segura – la investigación sobre el terreno no vale la pena!