progresión geométrica y sus propiedades

progresión geométrica es importante en las matemáticas como una ciencia, y el significado aplicado, ya que tiene un alcance muy amplio, incluso en las matemáticas superiores, por ejemplo, en la teoría de las series. La primera información sobre el progreso vino a nosotros desde el antiguo Egipto, en particular en forma de un conocido problema del papiro Rhind siete personas con siete gatos. Las variaciones de esta tarea se repiten muchas veces en diferentes momentos de otras naciones. Incluso el Velikiy Leonardo Pizansky, conocido como Fibonacci (s. XIII), habló con ella en su "Libro del ábaco."

De manera que la progresión geométrica tiene una historia antigua. Representa una secuencia numérica con un primer miembro distinto de cero, y cada uno posterior, empezando por el segundo se determina multiplicando la fórmula de recurrencia anterior en un número constante, no nulo que se llama progresión denominador (por lo general designado mediante la letra q).
Obviamente, se puede encontrar dividiendo cada término subsiguiente de la secuencia a la anterior, es decir, z 2: z 1 = … = zn: z n-1 = …. En consecuencia, durante la mayor progresión de trabajo (Zn) suficiente que se conoce el valor del primer término del denominador e y 1 q.

Por ejemplo, sea z = 1 7, q = – 4 (q <0), entonces la siguiente progresión geométrica se obtiene 7 – 28, 112 – 448, …. Como se puede ver, la secuencia resultante no es monótona.

Recordemos que una secuencia arbitraria de monótona (aumento / disminución) cuando uno de sus miembros siguen más / menos que la anterior. Por ejemplo, la secuencia de 2, 5, 9, …, y -10, -100, -1000, … – Monótono, el segundo – una progresión geométrica decreciente.

En el caso en el que q = 1, todos los miembros se encuentran para ser, y se llama la progresión constante.

La secuencia fue la progresión de este tipo, debe satisfacer la siguiente condición necesaria y suficiente, a saber: a partir de la segunda, cada uno de sus miembros debe ser la media geométrica de los miembros vecinos.

Esta propiedad permite en determinadas hallazgo de dos adyacentes progresión arbitraria plazo.

n-ésimo término exponencial encontrar fácilmente por la fórmula: Zn = z 1 * q ^ (n-1), z sabiendo primer miembro 1 y el denominador q.

Dado que el número de secuencia tiene una suma, a continuación, unos simples cálculos darnos una fórmula para calcular la suma de la primera progresión de los miembros, a saber:

S n = – (zn * q – z 1) / (1 – q).

Sustitución, en la fórmula su valor expresión zn z 1 * q ^ (n-1) para obtener una segunda fórmula de la suma de la progresión: S n = – z1 * (q ^ n – 1) / (1 – q).

Es digno de atención el siguiente dato interesante: la tableta de arcilla encontrado en las excavaciones de la antigua Babilonia, el cual se refiere a la VI. AC, contiene de forma notable la suma de 1 + 2 + … + 22 + 29 igual a 2 elevado a menos de potencia décimo 1. La explicación de este fenómeno aún no ha sido encontrado.

Observamos una de las propiedades de la progresión geométrica – un trabajo constante de sus miembros, espaciadas a igual distancia de los extremos de la secuencia.

De particular importancia desde un punto de vista científico, una cosa tal como una progresión geométrica infinita y el cálculo de su importe. Suponiendo que (in) – una progresión geométrica con denominador q, que satisface la condición | q | <1, su cantidad se refiere al límite hacia el cual ya sabemos la suma de sus primeros miembros, con el aumento sin límites de n, a continuación, tienen en él tendiendo a infinito.

Encuentra esta cantidad como resultado del uso de la fórmula:

S n = y 1 / (1- q).

Y, como la experiencia ha demostrado, por la aparente simplicidad de esta progresión se esconde un enorme potencial de aplicación. Por ejemplo, si se construye una secuencia de cuadrados de acuerdo con el siguiente algoritmo, que conecta los puntos medios de la anterior, a continuación, que forman una progresión geométrica infinita cuadrada que tiene un denominador medio. La misma forma progresión y área de triángulos, obtenidos en cada etapa de la construcción, y su suma es igual al área del cuadrado original.