¿Qué es un número de coma flotante?

La presentación de los números reales (o reales), donde se almacenan como una mantisa y exponente son números de punto flotante (tal punto, como es habitual en los países de habla Inglés). A pesar de esto, el número se proporciona con una precisión relativa fija y cambiante absoluta. La representación que se utiliza con mayor frecuencia, aprobada IEEE 754. operaciones matemáticas estándar que utilizan los números de coma flotante están implementadas en sistemas de computación – tanto de hardware como de software.

Punto o una coma

La lista detallada de separador decimal identifica a aquellos países y anglofitsirovannye de habla Inglés, donde los registros de números separados por una parte fraccionaria de toda la cuestión, porque la terminología de estos países adoptaron el nombre de punto flotante – "punto flotante". En la Federación Rusa, la parte fraccionaria de la totalidad de la tradición, separados por una coma, lo que representa el mismo concepto ha reconocido históricamente el término "punto flotante". Sin embargo, hoy en día en la documentación técnica y en la literatura rusa se permite ambas opciones.

El término "punto flotante" se originó en el hecho de que una representación de numeración posicional es una coma (decimal o binario normal, – un ordenador) que pueden caber en cualquier lugar entre los números de líneas. Esta característica está seguro de estipular por separado. Esto significa que la representación de números de punto flotante puede ser considerado como una aplicación informática de la notación exponencial. La ventaja de utilizar una representación de un números enteros formato de representación de punto fijo y que gama de valores tan crece significativamente cuando que la precisión relativa se mantiene sin cambios.

ejemplo

Si la coma en el número de fijo, y luego grabarlo en un solo formato. Por ejemplo, dado un poco de una en número de seis y dos dígitos en la parte fraccionaria. Esto se puede hacer sólo de esta manera: 123.456,78. El formato de números de punto que da un amplio margen para la expresión flotante. Por ejemplo, dado los mismos ocho dígitos. Opciones de grabación pueden ser cualquiera si el programador no hace dos dígitos escatima campo adicional deber, en el que anotará los exponentes que son típicamente de 10, y de 0 a 16, y las descargas mientras que el número total será de diez 8 + 2.

Algunas realizaciones de la grabación, que le permite formatear números con coma flotante: 12345678000000000000; ,0000012345678; 123.45678; 1.2345678 y así sucesivamente. En este formato, hay incluso una unidad de medida de la velocidad! Por el contrario, el rendimiento de un sistema de ordenador que registra la velocidad a la que el equipo realiza operaciones donde hay representación de números de punto flotante. Este rendimiento se mide en términos de FLOPS (operaciones de coma flotante por segundo, que se traduce en el número de transacciones por segundo con un punto flotante). Esta es la unidad básica de la velocidad del sistema informático de medición.

estructura

Número de registro en el formato de coma flotante es necesaria la siguiente manera, la observación de la secuencia de las partes obligatorias, ya que este registro es exponencial, que muestra los números reales como una mantisa y el orden. Es necesario para representar números demasiado grandes y demasiado pequeñas, que son mucho más fáciles de leer. partes necesarias: el número registrado (N), la mantisa (M), el orden de la señal (p) y el orden (n). Las dos últimas características de la señal. Por lo tanto, N = ^M. n ^p. Así por escrito los números de punto flotante. Ejemplos serán variadas.

1. Es necesario registrar el número de un millón, a fin de no perderse en los ceros. 1000000 – que es un registro normal, la aritmética. Un ordenador es como sigue: ^{1.0. 6} de ^octubre. Es decir, diez elevado a la sexta potencia – tres signos, que caben en un máximo de seis ceros. De este modo se produce la representación de los números de punto fijo y flotante donde inmediatamente puede detectar diferencias en la ortografía.

2. Y un número tan duro es 1435000000 (un mil cuatrocientos de treinta-cinco mil) también se puede escribir simplemente: ^{1435. 10} de ^septiembre solamente. Lo mismo sucede con un signo menos puede escribir cualquier número. Eso es todo, y difieren entre sí con el número de punto fijo y flotante.

Pero es más de lo que sea baja? Sí, con demasiada facilidad.

3. Por ejemplo, como la marca número un millón? = 0.000001 ^1.0. 10 ^-6. Enormemente facilitado y escribir los números, y leerlo.

4. A más complicado? Quinientos mil millonésima cuadragésimo sexto: 0,000000546 = ^546. 10 ^-9. Aquí. El rango de punto flotante es muy amplia.

forma

Número de documento puede ser normal o normalizada. Normal – siempre respetar la precisión de los números de punto flotante. Cabe señalar que la mantisa en esta forma, sin tener en cuenta el signo, es la mitad del intervalo de 0 1, a continuación, 0 ⩽ a <1. No en la forma normal de la cantidad de pierde su precisión. La desventaja de la forma normal es que muchos números pueden escribirse de diferentes maneras, es ambigua. Ejemplo diferentes registros del mismo número: 0 = 0,0001, ^{000001. 10} de febrero de = ^{0,00001. 10} de enero de = ^0,0001. 10 ⁰ = ^0,001. 10 ^-1 = ^0,01. 10 ^-2, y por lo tanto puede ser mucho más. Es por ello que el equipo utiliza una notación normalizada diferente, donde el decimal mantisa asume el valor de las unidades (incluido), y por lo tanto a diez (no incluido), y de la misma forma en que el número binario de mantisa tiene un valor entre uno (incluido) a dos (no inclusive).

Así, ⩽ 1 a <10 Este -. Números binarios con punto flotante, y esta forma de grabar cualquier número (excepto el cero) capta de una manera única. Pero también hay un inconveniente – la incapacidad de imaginar este tipo de cero. Por lo tanto, la informática proporciona para el uso de los números especiales 0 signo (bit). La parte entera de (MSB) de la mantisa en el número binario excepto cero en una forma normalizada es igual a 1 (unidad implícita). Este registro se utiliza estándar IEEE 754. El sistema de numeración posicional, en el que la base es más de dos (ternario, cuaternario y otros sistemas), esta propiedad no se compra.

reales

números reales con punto flotante y son por lo general al igual que no es el único, sino una forma muy conveniente para representar un número real, por así decirlo, un compromiso entre el rango de valores y precisión. Esto es análogo a la notación exponencial, sólo se realiza en el equipo. número de coma flotante – un conjunto de bits individuales se divide en una señal (señal), orden (exponente) y mantisa (mantis). El formato más común es un número 754 de coma flotante IEEE como un conjunto de bits que codifican una parte de su mantisa, por otra – el grado y el bit indica el signo del número: cero – si es positivo, la unidad – si el número es negativo. El procedimiento completo se registra por un número (código de desplazamiento), y la mantisa – en una forma normalizada, su parte fraccionaria – en el sistema binario.

Cada signo – es un único bit que indica el signo para todos los números de punto flotante. Mantisa y el orden – son números enteros, que, junto con la señal y hacer que la representación de números de punto flotante. El procedimiento puede ser llamado un exponencial o exponente. No todos los números reales pueden ser representados en una computadora en su significado exacto, los otros se presentan valores aproximados. Una opción mucho más simple – que presente un número real con un punto fijo, donde lo real y la parte entera se mantendrán separados. Lo más probable, de modo que la parte entera siempre está asignado X bits, y una fracción – Y bits. Pero la arquitectura de los procesadores no son conscientes de un procedimiento de este tipo, pero se da preferencia debido al número de coma flotante.

adición

Además de los números de punto flotante es bastante simple. En relación con el número de precisión simple IEEE 754 que tiene un gran número de bits, por lo que es mejor para pasar a los ejemplos, con una mejor idea de tomar el número de coma flotante más pequeño. Por ejemplo, los dos números – X y Y.

Los pasos son como sigue:

a) Los números deben estar representados en forma normalizada. Está claro que es uno oculto. X = ^1,110. 2 ^2, e Y = ^1000. 2 ^0.

b) Continuar el proceso de composición sólo puede igualar los expositores, pero necesita volver a escribir el valor de Y. Se corresponderá al valor de los números normalizados, aunque en realidad – unnormalizes.

Calcular la diferencia entre los exponentes de grado de 2 – 0 = 2. Ahora mueva la mantisa para compensar estos cambios, es decir, añadir 2 al índice del segundo término, moviendo así una coma unidades ocultas en dos puntos a la izquierda. se ^{obtiene 0,0100. 2} de ^febrero. Este será el equivalente del valor anterior Y, entonces ya hay una Y'.

c) Ahora tiene que sumar el número de mantisa X e Y. ajustado

1,110 + 0,01 = 10,0

Expositor todavía está representado por el parámetro X, que es igual a 2.

g) La cantidad recibida en el paso anterior, se desplazó la unidad de normalización, entonces usted necesita para cambiar la suma exponente y repetir. 10.0 con dos bits a la izquierda del punto decimal, el número es ahora necesario normalizar, es decir, mover la coma a la izquierda por un punto, y exponente, respectivamente, aumentado en 1. Resulta ^1000. 2 ^3.

e) Es hora de convertir un número en coma flotante en el sistema de un solo byte.

conclusión

Como se puede ver, agregar estos números no son demasiado duro, cualquier cosa que flote por comas. A menos que, por supuesto, a excepción de lo que el número de exponente menor entre los más (en el ejemplo anterior, fue el Y a X), así como la restauración de la situación actual, es decir, la cuestión de la compensación – mover el punto decimal a la izquierda de la mantisa. Cuando ya se ha aplicado la adición, es muy posible y todavía un problema – perenormirovanie y el bit de truncamiento si su número no coincide con el número de representarla.

multiplicación

sistema binario ofrece dos métodos por los que multiplica los números de punto flotante. Esta tarea puede ser realizada por la multiplicación, que comienza con los bits menos significativos y que comienza con los bits de orden superior en el multiplicador. Ambos casos contienen una serie de operaciones de apilamiento secuencialmente producto parcial. Estas operaciones son controladas por la adición de bits multiplicadores. Por lo tanto, si uno de los bits del multiplicador es una unidad, la suma de los productos parciales del multiplicando crece con un cambio correspondiente. Si un dígito del multiplicador se arrastró cero, mientras que no se añade el multiplicando.

Si la multiplicación se lleva a cabo sólo dos números, el producto de los números de su importe no puede exceder el número de dígitos que figuran en los factores, más de dos veces, y para un gran número es mucho, mucho. Si multiplicado por algún número, el producto no corre el riesgo de que quepa en la pantalla. Debido a que el número de bits de cualquier máquina digital es muy finito, y se obliga a confinar un máximo de dos veces el número de sumadores dígitos. Y si el número de plazas es limitado, en el producto introducirá inevitablemente errores. Si la cantidad de cálculo es grande, el error de solapamiento, y como resultado aumenta en gran medida la precisión global. En este caso, la única manera – para redondear los resultados de la multiplicación, entonces las obras de error se alternan. Cuando una operación de multiplicación, se hace posible ir más allá de la rejilla de dígitos, pero sólo por el menor, porque no hay un límite impuesto sobre el número de los cuales están representados en forma de punto fijo.

algunas explicaciones

Mejor empezar desde el principio. La forma más común para representar el número – números de línea como un entero, donde la coma está implícita en el final. Esta cadena puede ser de cualquier longitud, pero una coma se encuentra en el lugar adecuado para ponerlo, separando el número entero de la parte fraccionaria de la misma. El formato de presentación del sistema de punto fijo pone necesariamente ciertas condiciones de la ubicación del punto decimal. La notación científica utiliza una vista normalizado estándar de la representación de los números. Se AQN { displaystyle aq ^ {n }} aq n. Aquí un { displaystyle ^a} a, y se llama el encaje mantisa. Casi se ha dicho que un 0 ⩽ <q. Además, todos ya debería ser ^{claro: n {/ displaystyle n} n} – un exponente entero, y ^q {/ displaystyle q} q – también un número entero, que es la base de la radix (una letra es a menudo 10). Mantisa dejar una coma después del primer dígito, lo que no es cero, pero aún más la grabación se transfiere a la información sobre el valor actual del número.

número de coma flotante está escrito muy similar a todos los números de entrada estándar claras, sólo el exponente y mantisa se registran por separado. El último en la misma y en un formato normalizado – punto fijo, que está decorado con el primer dígito significativo. Sólo coma flotante se utiliza principalmente en el ordenador, es decir, en la representación electrónica de que el sistema no es decimal y binario, donde incluso mantisa Desnormalizar punto reordenados – ahora es antes de que el primer dígito, entonces antes, no después, cuando la parte entera en principio, no puede ser. Por ejemplo, nuestro propio sistema decimal daría su sistema binario de nueve para uso temporal. Y eso va a grabar y su mantisa de punto flotante como esto: 1001000 … 0, y él y el índice 0 … 0100. Pero el sistema decimal deja de producir este tipo de cálculos complejos, que pueden ser en binario, mediante la forma de coma flotante.

larga aritmética

En los ordenadores electrónicos han incorporado en paquetes de software, donde asignados para la mantisa y exponente de la cantidad de software de memoria especificada, limitado sólo por el tamaño de la memoria del ordenador. Se parece a una larga aritmética, es decir, las operaciones sencillas de números que realiza la computadora. Es todo lo mismo – suma y resta, división y multiplicación, funciones elementales y la construcción de la raíz. Pero el número de muy diferentes, su capacidad es significativamente mayor que la longitud de la palabra máquina. La realización de estas operaciones no es por el hardware y el software, pero es ampliamente utilizado hardware básico para trabajar con un número mucho menor de pedidos. Hay más y la aritmética, donde los números de longitud solamente limitadas por la capacidad de memoria – aritmética de precisión arbitraria. Una larga aritmética se utiliza en muchos campos.

1. Para compilar el código (procesadores, microcontroladores con baja profundidad de bits – registros de 10 bits y la longitud de la palabra de ocho bits, no es suficiente para manejar la información de la analógica a digital (analógico a digital), y por lo tanto no puede prescindir de una larga aritmética.

2. Se también una larga aritmética se utiliza para la criptografía, donde es necesario para garantizar la exactitud del resultado de la exponenciación o multiplicación a ^10.309. aritmética de enteros se utiliza módulo m – un gran número natural, y no es necesariamente simple.

3. Software para financieros y matemáticos, también, no deja de tener una larga aritmética, porque la única manera de verificar los resultados de los cálculos sobre el papel – con la ayuda de la computadora, lo que garantiza una alta precisión de los números. punto flotante que puede afectar a cualquier número de descarga largo. Sin embargo, los cálculos de ingeniería y el trabajo de científicos requieren cálculos del programa de intervención muy a menudo, ya que es muy difícil hacer que los datos de entrada sin cometer errores. por lo general son mucho más voluminosos que los resultados de redondeo.

Lucha con errores

Cuando una serie de operaciones en las que el punto flotante, es muy difícil evaluar la exactitud de los resultados. sin embargo, no se ha inventado satisfacer toda la teoría matemática que ayudaría a resolver este problema. Sin embargo, el número entero de error evaluar fácilmente. La posibilidad de deshacerse de las inexactitudes en la superficie – sólo tiene que utilizar sólo el número de punto fijo. Por ejemplo, un programa financiero basa en este principio. Sin embargo, no son más simples: el número requerido de dígitos después del punto decimal se conoce de antemano.

Otras aplicaciones no se limitan a, porque no se puede trabajar tanto con números muy pequeños o muy grandes. Así que cuando se trabaja siempre tiene en cuenta que puede haber imprecisiones, y debido a la derivación de los resultados es necesario ronda. Por otra parte, el redondeo automático es a menudo una falta de acción, y el redondeo por lo tanto se define específicamente. Muy peligroso en este sentido, la operación de comparación. Hay incluso estimar la cantidad de errores en el futuro es extremadamente difícil.