Georg Cantor: la teoría de conjuntos, biografía y matemáticas familia

Georg Cantor (foto muestra más adelante en el artículo) – matemático alemán que desarrolló la teoría de conjuntos e introdujo el concepto de los números transfinitos, infinitamente grandes, pero diferentes entre sí. También dio una definición de los números ordinales y cardinales y les hizo aritmética.

Georg Cantor: una breve biografía

Nacido en San Petersburgo 03/03/1845. Su padre era un protestante danés Georg Waldemar Cantor, estaba ocupado en el comercio, en el Vol. H. Y en la bolsa. Su madre, María, Bem era católico y provenía de una familia de músicos prominentes. Cuando en 1856 su padre George se enfermó, la familia en busca de un clima más suave trasladó primero a Wiesbaden luego a Frankfurt. talento matemático, el chico apareció antes de su cumpleaños número 15 mientras se estudia en las escuelas privadas y las escuelas públicas en Darmstadt y Wiesbaden. Al final, Georg Cantor convenció a su padre en su determinación para convertirse en un matemático en lugar de un ingeniero.

Después de un breve entrenamiento en la Universidad de Zurich en 1863. Cantor fue transferido a la Universidad de Berlín para estudiar la física, la filosofía y las matemáticas. No se le enseñó:

• Karl Theodor Weierstrass, cuya especialización en el análisis, probablemente tuvo la mayor influencia en George;
• Ernst Kummer, que enseñó la más alta aritmética;
• Leopold Kronecker, en el número especialista en teoría, que más tarde se opuso Cantor.

Después de haber pasado un semestre en la Universidad de Göttingen en 1866, el año que viene George escribió su tesis doctoral bajo el título "En matemáticas, el arte de hacer preguntas es más valiosa que la solución de problemas" en relación con el problema de que Carl Friedrich Gauss deja sin resolver en su Disquisitiones Arithmeticae (1801) . Después de enseñar brevemente en la Escuela de Berlín para las niñas Kantor comenzó a trabajar en la Universidad de Halle, donde permaneció hasta el final de su vida, primero como profesor, desde 1872 como profesor asistente, y desde 1879 el primero como profesor.

investigación

Al comienzo de una serie de 10 obras de 1869 a 1873, Georg Cantor considera la teoría de números. La obra refleja la pasión por el tema de su estudio y el efecto de Gauss Kronecker. A sugerencia de Heinrich Eduard Heine, colegas de Cantor en Halle, que reconocieron su talento matemático, se volvió a la teoría de las series trigonométricas, que amplió el concepto de los números reales.

Sobre la base de la función de trabajo de una variable compleja del matemático alemán Bernhard Riemann en 1854, en 1870, Cantor demostró que una función de este tipo puede ser representada de una sola manera – por series trigonométricas. Consideración del conjunto de números (puntos), lo que no contradigan este punto de vista, lo condujo, en primer lugar, en 1872, a la definición de los números irracionales en términos de secuencias convergentes de números racionales (fracciones de números enteros) y luego al inicio de los trabajos en la obra de su vida, la teoría de conjuntos y el concepto de los números transfinitos.

la teoría de conjuntos

Georg Cantor, la teoría que originó conjuntos en correspondencia con el Instituto de Técnica de Braunschweig matemático Richard Dedekind, era amigo de él desde la infancia. Llegaron a la conclusión que los conjuntos, finito o infinito, son una pluralidad de elementos (por ejemplo, números de {0, ± 1, ± 2 …}) que tienen una cierta propiedad, mientras que conserva su individualidad. Pero cuando Georg Cantor aplica a estudiar sus características una correspondencia (por ejemplo, {A, B, C} a {1, 2, 3}), rápidamente se dio cuenta de que difieren en su grado de afiliación, incluso si fuera conjuntos infinitos , t. e. pieza conjunto o un subconjunto de los cuales incluye el mismo número de objetos, ya que es en sí. Su método pronto dio resultados sorprendentes.

En 1873, Georg Cantor (matemático) mostró que los números racionales, aunque infinito, son contables, debido a que se pueden poner en correspondencia uno-a-uno con natural (es decir. E. 1, 2, 3 ,. D.). Mostró que el conjunto de números reales que consisten en una infinita racional e irracional, e incontables. Qué paradoja, Cantor demostró que el conjunto de todos los números algebraicos contiene tantos elementos como el conjunto de todos los enteros, y que los números trascendentes que no son algebraica, que son un subconjunto de los números irracionales es incontable y por lo tanto su número es mayor que los números enteros y debe ser considerado como infinito.

Oponentes y partidarios

Pero el trabajo de Cantor, en el que se presentó por primera vez los resultados, no se publicó en la revista "Krell" como uno de los revisores, Kronecker se oponía. Pero después de la intervención del Dedekind fue publicado en 1874 bajo el título "Las características de todos los números algebraicos reales."

La ciencia y la vida personal

En el mismo año, durante la luna de miel con su esposa, Valli Gutman en Interlaken, Suiza, se reunió Cantor Dedekind que amablemente comentó sobre su nueva teoría. George sueldo era pequeña, pero con el dinero que su padre, que murió en 1863, que había construido para su esposa y cinco hijos en casa. Muchos de sus trabajos han sido publicados en Suecia en la nueva revista Acta Mathematica, el editor y fundador de los cuales era Gösta Mittag-Leffler, entre los primeros en reconocer el talento del matemático alemán.

La comunicación con la metafísica

Teoría Cantor era completamente nuevo sujeto de la investigación relativa a infinito matemáticas (por ejemplo, la secuencia 1, 2, 3 ,. D., y conjuntos más complejos), que es dependiente en gran medida de correspondencia uno-a-uno. Cantor Desarrollo de nuevos métodos de fijación de las cuestiones relativas a la continuidad y el infinito prestó sus estudios de mezcla.

Cuando sostuvo que existen realmente un número infinito, se dirigió a la filosofía antigua y medieval en relación con el infinito real y potencial, así como a la educación religiosa temprana, lo que los padres le dieron. En 1883, en su libro "Fundamentos de la teoría general de conjuntos" Kantor combinó su concepto de la metafísica de Platón.

Kronecker también, que afirmaron que "no son" sólo enteros ( "Dios creó los números enteros, el resto – el trabajo del hombre"), durante muchos años rechazó enérgicamente sus argumentos e impidió su nombramiento en la Universidad de Berlín.

números transfinitos

En 1895-1897 gg. Georg Cantor totalmente formó su idea de la continuidad y el infinito, incluyendo una secuencia de números sin fin y cardinales, en su obra más famosa, publicada bajo el título "Contribución a la teoría de los números transfinitos" (1915). Este trabajo incluye su concepción, a la que condujo una demostración de que un conjunto infinito se puede entregar en una correspondencia uno-a-uno con uno de sus subconjuntos.

El número cardinal transfinito más pequeño que quería decir el poder de cualquier conjunto, que se pueden poner en correspondencia uno-a-uno con los números naturales. Kantor describió su aleph-cero. Large pluralidad transfinita Alef-designado uno, dos o Alef-t. D. Se desarrolló además ordinales aritméticas, que era similar a la aritmética finita. Por lo tanto, se ha enriquecido el concepto de infinito.

La oposición que enfrentó, y el tiempo que se tardó en asegurarse de que sus ideas fueron aceptadas plenamente, explicó las complejidades de la revalorización de la antigua pregunta de cuál es el número. Kantor mostró que un conjunto de puntos en la línea tiene una mayor capacidad que Alef-cero. Esto llevó al conocido problema de la hipótesis del continuo – no hay ninguna cardenales entre tomas de corriente en la línea de aleph-cero y. Este problema en la primera y segunda mitad del siglo 20 es de gran interés y ha sido estudiada por varios matemáticos, en el Vol. H. Kurt Gödel y Paul Cohen.

depresión

Biografía Georga Kantora a partir de 1884 se vio empañado por su enfermedad mental incipiente pero continuó trabajando activamente. En 1897 ayudó a mantener el primer Congreso Internacional de Matemáticos en Zurich. En parte porque se oponía a la Kronecker, que a menudo simpatizaba con los jóvenes matemáticos en ciernes y trató de encontrar una manera de salvar de acoso por parte de los maestros que se sienten amenazados por las nuevas ideas.

reconocimiento

En el cambio de siglo su trabajo fue reconocido plenamente como base para la teoría de funciones, el análisis y la topología. Además, el libro Kantora Georga sirvió como impulso para el desarrollo futuro de la escuela formalista y intuicionista de fundamentos lógicos de las matemáticas. Esto ha cambiado significativamente el sistema de enseñanza y es a menudo asociada con la "nueva matemática".

En 1911, Cantor fue uno de los invitados a la celebración del 500 aniversario de la Universidad de St. Andrews en Escocia. Se fue allí con la esperanza de satisfacer Bertrand Russell, que en su trabajo recientemente publicado Principia Mathematica se refirió repetidamente al matemático alemán, pero eso no sucedió. Universidad otorgó un grado honorario Cantor, pero debido a una enfermedad que era incapaz de aceptar el premio en persona.

Cantor se retiró en 1913 y vivió en la pobreza y de hambre durante la Primera Guerra Mundial. Las celebraciones en honor a su cumpleaños número 70 en 1915 fueron cancelados debido a la guerra, pero una pequeña ceremonia se llevó a cabo en su casa. Murió el 01/06/1918, en Galle, en un hospital psiquiátrico, donde pasó los últimos años de su vida.

Georg Cantor: una biografía. familia

9 de agosto de 1874, el matemático alemán casado Valli Gutman. La pareja tuvo 4 hijos y 2 hijas. El último hijo nació en 1886 en Cantor compró una nueva casa. Apoyar a la familia que ayudó a la herencia de su padre. La salud de Cantor afectada en gran medida de la muerte de su hijo menor en 1899 – ya que nunca salió de la depresión.