la regla de Cramer y su aplicación

la regla de Cramer – es uno de los métodos exactos para la resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales (Slough). Su precisión debido a la utilización de los determinantes de la matriz del sistema, así como algunas de las restricciones impuestas en la prueba del teorema.

Un sistema de ecuaciones algebraicas lineales con coeficientes que pertenece a, por ejemplo, una pluralidad de R – números reales de incógnitas x1, x2, …, xn es una colección de expresiones

EA2 x1 + x2 + AI2 … ain xn = BI con i = 1, 2, …, m, (1)

donde aij, bi – números reales. Cada una de estas expresiones se llama una ecuación lineal, aij – coeficientes de las incógnitas, bi – coeficientes independientes de ecuaciones.

solución de (1) se refiere a n-dimensional vector x ° = (x1 °, x2 °, …, xn °), en la que la sustitución en el sistema para el incógnitas x1, x2, …, xn, cada una de las líneas en el sistema se vuelve mejor ecuación .

El sistema se llama consistente si tiene al menos una solución, e inconsistentes, si coincide con el conjunto solución del conjunto vacío.

Debe recordarse que con el fin de encontrar soluciones a los sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de Cramer, sistemas de matriz tienen que ser cuadrados, que significa básicamente el mismo número de incógnitas y ecuaciones en el sistema.

Por lo tanto, para utilizar el método de Cramer, debe por lo menos saber lo que la matriz es un sistema de ecuaciones algebraicas lineales, y que se emite. Y en segundo lugar, para comprender lo que se llama el determinante de la matriz y sus propias habilidades de cálculo.

Supongamos que este conocimiento que poseen. Maravilloso! Entonces usted tiene que acaba de memorizar fórmulas que determinan método de Kramer. Para simplificar la memorización utilizar la siguiente notación:

• Det – el determinante principal de la matriz del sistema;

• deti – es el determinante de la matriz obtenida a partir de la matriz primaria del sistema mediante la sustitución de la i-ésima columna de la matriz a un vector columna cuyos elementos son los lados derechos de las ecuaciones algebraicas lineales;

• n – el número de incógnitas y ecuaciones en el sistema.

Entonces cálculo regla de Cramer i-ésimo xi componente (i = 1, .. n) n-dimensional vector x puede escribirse como

xi = deti / Det, (2).

En este caso, Det estrictamente diferente de cero.

La singularidad de la solución del sistema cuando se proporciona conjuntamente por la condición de desigualdad del determinante principal del sistema a cero. De lo contrario, si la suma de (xi), ajustado, estrictamente positivo, entonces SLAE una matriz cuadrada es inviable. Esto puede ocurrir en particular cuando al menos uno de distinto de cero deti.

Ejemplo 1. Para resolver el sistema LAU tridimensional según la fórmula de Cramer.
2 x1 + x2 + x3 = 31 4,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 – x2 + x3 = 10.

Decisión. Anotamos la matriz de la línea del sistema por línea, donde Ai – es la fila i-ésima de la matriz.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
Columna coeficientes gratuito B = (31 29 de octubre).

El sistema principal es el determinante Det
Det = a11 a22 a33 a12 a23 a31 + + a31 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a32 a23 – a33 a21 a12 = 1 – 20 + 12 – 12 + 2 – 10 = -27.

Para calcular la permutación det1 usando a11 = b1, a21 = b2, a31 = b3. entonces
det1 = b1 a22 a33 a12 a23 + b3 + b2 a31 a32 – a13 a22 b3 – b1 a32 a23 – a33 a12 b2 = … = -81.

Del mismo modo, para calcular det2 uso sustitución a12 = b1, a22 = b2, a32 = b3, y, en consecuencia, para calcular DET3 – a13 = b1, a23 = b2, a33 = b3.
A continuación, puede comprobar que det2 = -108, y DET3 = – 135.
De acuerdo con las fórmulas Cramer encontrar x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.

Respuesta: x ° = (3,4,5).

Basándose en la aplicabilidad de esta regla, el método de Kramer sistemas de ecuaciones lineales resolver se puede utilizar indirectamente, por ejemplo, para investigar el sistema sobre el número posible de soluciones en función del valor de un parámetro k.

Ejemplo 2. Para determinar en qué valores de la k desigualdad parámetro | kx – y – 4 | + | x + ky + 4 | <= 0 tiene exactamente una solución.

Decisión.
Esta desigualdad, por la definición de la función del módulo se puede realizar sólo si ambas expresiones son cero simultáneamente. Por lo tanto, este problema se reduce a encontrar la solución de ecuaciones algebraicas lineales

kx – y = 4,
x + ky = -4.

La solución a este sistema sólo si es el principal determinante de la
Det = k ^ {2} + 1 es distinto de cero. Está claro que esta condición se cumple para todos los valores reales del parámetro k.

Respuesta: para todos los valores reales del parámetro k.

Los objetivos de este tipo también se pueden reducir muchos problemas prácticos en el campo de las matemáticas, física o química.