Diferentes maneras de demostrar el teorema de Pitágoras: Ejemplos, descripción y comentarios
Una cosa es segura al cien por cien que la cuestión, que es igual al cuadrado de la hipotenusa, cualquier adulto con audacia a responder: "la suma de los cuadrados de los catetos." Este teorema se adhiere firmemente en la mente de toda persona educada, pero que acaba de pedir a alguien para probarlo, y puede haber dificultades. Por lo tanto, recordemos y considerar diferentes maneras de probar el teorema de Pitágoras.
Una visión general de la biografía
El teorema de Pitágoras es familiar para casi todo el mundo, pero por alguna razón, la vida humana, lo que ha hecho a la luz, no es tan popular. Esto se puede arreglar. Por lo tanto, antes de explorar las diferentes maneras de probar el teorema de Pitágoras, hay que conocer brevemente con su personalidad.
Pitágoras – filósofo, matemático, filósofo originario de la antigua Grecia. Hoy en día es muy difícil distinguir su biografía de las leyendas que se han establecido en la memoria de este gran hombre. Sin embargo, se desprende de las obras de sus seguidores, Pifagor Samossky nació en la isla de Samos. Su padre era un cantero normal, pero su madre provenía de una familia noble.
De acuerdo con la leyenda, el nacimiento de Pitágoras predijo mujer llamada Pitia, en cuyo honor y el nombre del niño. De acuerdo con su predicción del nacimiento de un niño traería una gran cantidad de beneficios y la bondad de la humanidad. Que de hecho lo hicieron.
El nacimiento del teorema
En su juventud, Pitágoras se trasladó desde Samos a Egipto para reunirse con los sabios egipcios conocidos. Después de reunirse con ellos, fue admitido en la formación, y sabía donde todos los grandes logros de la filosofía egipcia, las matemáticas y la medicina.
Fue probablemente en Egipto Pitágoras inspirados por la majestuosidad y la belleza de las pirámides y creó su gran teoría. Se puede sorprender a los lectores, pero los historiadores modernos creen que Pitágoras no probó su teoría. Y sólo impartido su conocimiento de seguidores que más tarde se terminaron todos los cálculos matemáticos necesarios.
Fuera lo que fuese, ahora se sabe más de un método de prueba de este teorema, sino varias. Hoy en día sólo se puede adivinar cómo los griegos hicieron sus cálculos, por lo que hay diferentes maneras de ver la demostración del teorema de Pitágoras.
teorema de Pitágoras
Antes de iniciar cualquier cálculo, es necesario saber qué teoría a prueba. El teorema de Pitágoras es: "En un triángulo en el que uno de los ángulos es de aproximadamente 90, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa."
En total hay 15 maneras diferentes para demostrar el teorema de Pitágoras. Esta es una cifra bastante alta, así que presta atención el más popular de ellos.
método uno
En primer lugar, se denota que se nos da. Estos datos se extenderán a otros métodos de demostración del teorema de Pitágoras, por lo que es adecuado para recordar todas las designaciones existentes.
Supongamos triángulo rectángulo dado con las piernas a, y una hipotenusa igual a c. El primer método se basa en la evidencia de que, a causa de un triángulo rectángulo es necesario para terminar la plaza.
Para ello, es necesario una longitud de las piernas de un segmento igual a terminar en una pierna, y viceversa. Por lo que debe tener dos lados iguales de la plaza. Sólo podemos trazar dos líneas paralelas, y la plaza está listo.
En el interior, las cifras resultantes tienen que sacar otra cuadrada con un lado igual a la hipotenusa del triángulo original. Para este fin, los vértices de ac y la comunicación es necesario trazar dos segmentos iguales con paralelo. Por lo tanto la obtención de los tres lados de un cuadrado, una de las cuales es la rectangular original de triángulos la hipotenusa. Docherty sigue siendo sólo el cuarto segmento.
Basado en el patrón resultante se puede concluir que el área exterior del cuadrado es igual a (a + b) 2. Si nos fijamos en las figuras, se puede ver que, además de la plaza interior tiene cuatro triángulos rectángulos. El área de cada uno es 0,5av.
Por lo tanto, el área es igual a: 4 * 0,5av + c 2 = a 2 + 2AV
Por lo tanto, (a + b) 2 = c 2 + 2AV
Y por lo tanto, con 2 = a 2 + 2
Esto demuestra el teorema.
Método dos: triángulos semejantes
Esta fórmula es la prueba del teorema de Pitágoras se deriva sobre la base de la aprobación de la sección de la geometría de estos triángulos. Se afirma que las piernas de un triángulo rectángulo – la proporcional promedio a su hipotenusa y la longitud de la hipotenusa, que emana desde el vértice 90.
Los datos iniciales son los mismos, por lo que vamos a empezar inmediatamente con la prueba. Dibuje perpendicular al lado del segmento AB CD. Sobre la base de la aprobación por encima de las piernas de los triángulos son iguales:
AC = √AV * AD, CB = √AV * DV.
Para responder a la pregunta de cómo demostrar el teorema de Pitágoras, la prueba se debe encaminar elevando al cuadrado ambos desigualdades.
AC 2 = AB * BP y CB 2 = AB * DV
Ahora tiene que sumar la desigualdad resultante.
AU 2 2 + CB = AB * (BP * ET) donde BP = AB + ET
Resulta que:
AC 2 + 2 = CB AB * AB
Y por lo tanto:
AU 2 2 + CB = AB 2
La prueba del teorema de Pitágoras y las diferentes formas de su solución tienen que ser enfoque multifacético a este problema. Sin embargo, esta opción es uno de los más sencillos.
Otro método de cálculo
Descripción de las diferentes formas de demostrar el Teorema de Pitágoras puede ser nada que decir, siempre y cuando la mayoría no lo hacen ellos mismos han comenzado a practicar. Muchas de las técnicas implican no sólo matemáticas, sino también la construcción del triángulo original, nuevas cifras.
En este caso, es necesario finalizar el tramo BC de otro triángulo rectángulo la TIR. Así que ahora hay dos triángulos con la pierna dom común
Sabiendo que las áreas de figuras similares tienen una relación como los cuadrados de sus dimensiones lineales similares, entonces:
S ABC * 2 – S 2 * HPA = S * y AVD 2 – S 2 * a VSD
Abc * S (2 -c 2) = a * (S AVD -S VVD) 2
-para 2 2 = a 2
2 = a 2 + 2
Debido a los diferentes métodos de prueba del teorema de Pitágoras para el grado 8, esta opción no es adecuada, puede utilizar el siguiente procedimiento.
La forma más fácil de demostrar el teorema de Pitágoras. Comentarios
Se cree por los historiadores, se utilizó por primera vez este método para la prueba del teorema de la antigua Grecia. Él es el más fácil, ya que no requiere ningún pago. Si dibuja una imagen correctamente, la prueba de la afirmación de que un 2 + 2 = c 2, se verá con claridad.
Términos y condiciones para este proceso será un poco diferente de la anterior. Para demostrar el teorema, asumir que el triángulo rectángulo ABC – isósceles.
Hipotenusa AC hacerse cargo de la dirección de la plaza y docherchivaem sus tres lados. Además, es necesario pasar dos líneas diagonales para formar un cuadrado. Por lo tanto, para obtener cuatro triángulos equiláteros en su interior.
Por Catete AB y CD, según sea necesario Docherty en la plaza y celebrar en una línea diagonal en cada uno de ellos. Dibujar una línea desde el primer vértice A, una segunda – de C.
Ahora tenemos que tener una mirada cercana a la imagen resultante. A medida que la hipotenusa AC es de cuatro triángulos iguales a la original, pero en Catete dos, se habla sobre la veracidad de este teorema.
Por cierto, gracias a esta técnica, la prueba del teorema de Pitágoras, y así nació la famosa frase: "los pantalones de Pitágoras en todas las direcciones son iguales."
J. Proof. Garfield
Dzheyms Garfild – el vigésimo Presidente de los Estados Unidos de América. Además, ha dejado su huella en la historia como el gobernante de los Estados Unidos, también fue un autodidacta dotado.
Al principio de su carrera, él era un profesor regular en la escuela popular, pero pronto se convirtió en el director de una de las instituciones de educación superior. El deseo de auto-desarrollo y le permitió proponer una nueva teoría de la demostración del teorema de Pitágoras. Teorema y un ejemplo de su solución es como sigue.
En primer lugar, es necesario trazar sobre el papel de dos triángulo rectángulo de manera que una pierna de la que era una continuación de este último. Los vértices de estos triángulos se deben conectar a terminar encima de conseguir un trapecio.
Como es sabido, el área de un trapecio es igual al producto de la media de la suma de su base y la altura.
S = a + b / 2 * (a + b)
Si tenemos en cuenta el trapezoide resultante, como una figura compuesta de tres triángulos, su área se puede encontrar la siguiente manera:
S = aw / 2 * 2 + 2/2
Ahora es necesario para igualar los dos expresión original
2AV / 2 + c / 2 = (a + b) 2/2
2 = a 2 + 2
Acerca de Pitágoras y la forma de demostrar que no se puede escribir un solo libro de texto volumen. Pero ¿tiene sentido cuando ese conocimiento no se puede aplicar en la práctica?
Aplicación práctica del teorema de Pitágoras
Por desgracia, en el plan de estudios de la escuela moderna prevé la utilización de este teorema sólo en problemas geométricos. Los graduados estarán pronto dejar las paredes de la escuela, y no saber, y cómo pueden aplicar sus conocimientos y habilidades en la práctica.
De hecho, para usar el teorema de Pitágoras en su vida diaria puede cada uno. Y no sólo en la actividad profesional, sino también en las tareas domésticas ordinarias. Considere algunos casos en que el teorema de Pitágoras y la forma de demostrar que puede ser extremadamente necesario.
teoremas de comunicación y la astronomía
Parecería que puedan estar vinculadas a las estrellas y triángulos en papel. De hecho, la astronomía – un área científica en la que utiliza ampliamente el teorema de Pitágoras.
Por ejemplo, considere el movimiento del haz de luz en el espacio. Se sabe que la luz viaja en ambas direcciones a la misma velocidad. trayectoria AB, que se mueve el haz de luz se denomina l. Y la mitad del tiempo requerido para la luz para llegar desde el punto A al punto B, que llamamos t. Y la velocidad del rayo – c. Resulta que: c * t = l
Si nos fijamos en este mismo haz de otro avión, por ejemplo, una nave espacial, que se mueve con una velocidad v, a continuación, en tales cuerpos de supervisión cambiará su velocidad. Sin embargo, incluso los elementos fijos se moverán con una velocidad v en la dirección opuesta.
Supongamos forro cómica flotante derecha. Entonces los puntos A y B, que se debate entre el haz se moverán a la izquierda. Además, cuando el haz se mueve desde el punto A al punto B, el punto A el momento de pasar, y, en consecuencia, la luz ha entrado en un nuevo punto C. Para encontrar la mitad de la distancia a la que el punto A se ha movido, es necesario multiplicar la velocidad de la nave en medio tiempo de viaje de haz (t ').
d = t '* v
Y para encontrar qué tan lejos en ese momento fue capaz de pasar un haz de luz que se necesita para marcar el punto medio de la nueva s de haya y la siguiente expresión:
s = c * t '
Si imaginamos que el punto de luz C y B, así como la nave espacial – es la parte superior de un triángulo isósceles, el segmento desde el punto A al revestimiento se divide en dos triángulos rectángulos. Por lo tanto, gracias al teorema de Pitágoras se puede encontrar la distancia que fue capaz de pasar un haz de luz.
s = l 2 2 + d 2
Este ejemplo es, por supuesto, no es la mejor, ya que sólo unos pocos pueden tener la suerte de probarlo en la práctica. Por lo tanto, consideramos que las aplicaciones más mundanas de este teorema.
transmisión de la señal móvil Radius
La vida moderna es imposible de imaginar sin la existencia de los teléfonos inteligentes. Pero, ¿cuántos de ellos tendría que hacían si no fueron capaces de conectar los abonados a través de móvil?!
la calidad de las comunicaciones móviles depende directamente de la altura a la que la antena sea el operador de telefonía móvil. Con el fin de averiguar a qué distancia de las torres de telefonía móvil puede recibir la señal, se puede usar el teorema de Pitágoras.
Supongamos que usted quiere encontrar la altura aproximada de una torre fija, de modo que pueda distribuir la señal en un radio de 200 kilómetros.
AB (altura de la torre) = x;
Sun (radio de señal) = 200 km;
OC (radio de la Tierra) = 6,380 kilometros;
aquí
OB = OA + AVOV = r + x
Aplicando el teorema de Pitágoras, nos encontramos con lo que la altura mínima de la torre debe ser de 2,3 kilómetros.
teorema de Pitágoras en el hogar
Por extraño que parezca, el teorema de Pitágoras puede ser útil incluso en asuntos domésticos, tales como la determinación de la altura del compartimento del armario, por ejemplo. A primera vista, no hay necesidad de utilizar este tipo de cálculos complejos, ya que sólo puede tomar sus medidas con una cinta métrica. Pero muchos se preguntan por qué el proceso de construcción hay ciertos problemas, si se tomaran sobre exactamente todas las mediciones.
El hecho es que el armario va en una posición horizontal y luego levantado y montado a la pared. Por lo tanto, la pared lateral de la caja en el proceso de levantar el diseño debe fluir libremente y en altura y espacios diagonales.
Suponga que tiene un armario de 800 mm de profundidad. La distancia desde el suelo hasta el techo – 2600 mm. ebanista con experiencia dice que la altura del recinto debe estar al 126 mm menor que la altura de la habitación. Pero ¿por qué en 126mm? Consideremos el siguiente ejemplo.
Bajo dimensiones ideales de un armario eléctrico, comprobar la acción del Teorema de Pitágoras:
√AV AC = 2 + 2 √VS
AU = √2474 2 800 2 = 2,600 mm – convergen.
Digamos, la altura de la caja no es igual a 2474 mm y 2505 mm. entonces:
AU = √2505 2 + √800 = 2,629 mm 2.
En consecuencia, este gabinete no es adecuado para su instalación en la sala. Dado que al recogerlo su posición vertical puede causar daño a su cuerpo.
Tal vez consideradas las diferentes maneras de probar el Teorema de Pitágoras por diferentes científicos, podemos concluir que es más cierto. Ahora puede utilizar la información en su vida diaria, y estar absolutamente seguro de que todos los cálculos no sólo son útiles, pero también es cierto.
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