progresión geométrica. Ejemplo de decisión

Considere una fila.

7 28 112 448 1792 …

muestra muy claramente que el valor de cualquiera de sus elementos más de las anteriores exactamente cuatro veces. Por lo tanto, esta serie es una progresión.

progresión geométrica llamado secuencia infinita de números, la característica principal de los cuales es que el número siguiente se obtiene a partir de lo anterior mediante la multiplicación por un número definido. Esto se expresa por la siguiente fórmula.

_{un z 1 = a z · q} , donde z – número del elemento seleccionado.

Por consiguiente, z ∈ N.

Un momento en que la escuela se estudia la progresión geométrica – noveno grado. Los ejemplos ayudan a comprender el concepto:

0,25 0,125 0,0625 …

18 6 de febrero de …

En base a esta fórmula, la progresión de la denominador se puede obtener como sigue:

Ni q, o b _z no puede ser cero. Además, cada uno de los elementos de una serie de números progresión no debe ser cero.

Por consiguiente, para ver el siguiente número de un número, se multiplica el último por q.

Para definir esta progresión, se debe especificar el primer elemento de la misma y el denominador. Después de que es posible encontrar cualquiera de los siguientes miembros y su importe.

especies

Dependiendo de la Q y un _1, esta progresión se divide en varios tipos:

• Si un _1, y q es mayor que uno, entonces una secuencia – que aumenta con cada elemento sucesivo de una progresión geométrica. Ejemplos de los mismos se detallan a continuación.

Ejemplo: un ₁ = 3, q = 2 – mayor que la unidad, ambos parámetros.

A continuación, una secuencia de números se puede escribir como:

3 6 12 24 48 …

• Si | q | menor que uno, es decir, es equivalente a multiplicación por división, la progresión con condiciones similares – la disminución de la progresión geométrica. Ejemplos de los mismos se detallan a continuación.

Ejemplo: un ₁ = 6, q = 1/3 – un ₁ es mayor que uno, q – menos.

A continuación, una secuencia de números se puede escribir como sigue:

2 de junio de 2/3 … – cualquier elemento que más elementos siguientes, es 3 veces.

• Alterna. Si q <0, los signos de los números de la secuencia alterna constantemente, independientemente de un _1, y los elementos de cualquier aumento o disminución.

Ejemplo: un ₁ = -3, q = -2 – están a menos de cero.

A continuación, una secuencia de números se puede escribir como:

3, 6, -12, 24, …

fórmula

Para un uso conveniente, hay muchos progresión geométrica de las fórmulas:

• Fórmula z-ésimo término. Permite el cálculo del elemento en un número específico sin calcular los números anteriores.

Ejemplo: q = 3, a = ₁ 4. necesario calcular el cuarto progresión elemento.

Solución: a = ₄ 4 3 · ^4-1 · 3 = 4 ³ = 4 · 27 = 108.

• La suma de los primeros elementos, cuyo número es igual a z. Se permite el cálculo de la suma de todos los elementos en una secuencia a un inclusive _z.

≠ 0, por lo tanto, q no es 1 – (q 1) Puesto que (1- q) es en el denominador, entonces.

Nota: si q = 1, entonces la progresión habría representado una serie de repetir sin cesar el número.

Cantidad exponencialmente ejemplos: a ₁ = 2, q = -2. Calcular S _5.

Solución: S ₅ = 22 – fórmula de cálculo.

• Monto si | q | <1 y cuando z tiende a infinito.

Ejemplo: un ₁ = _2, q = 0,5. Encuentra la suma.

Solución: S _z = 2 x = 4

Si calculamos la suma de varios miembros del manual, verá que es de hecho el compromiso de cuatro.

S _z = 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 3,9375 4

Algunas propiedades:

• Una propiedad característica. Si la siguiente condición Se cumple para cualquier z, a continuación, da una serie numérica – una progresión geométrica:

un _z ² = A _{z -1} · A _{z + 1}

• También es el cuadrado de cualquier número es exponencialmente por medio de la adición de los cuadrados de los otros dos números en cualquier fila dada, si son equidistantes del elemento.

² una _z = a _{z – t} ² _{+ z} + _t ² donde t – la distancia entre estos números.

• Los elementos se diferencian por los tiempos de q.
• Los logaritmos de los elementos de progresión, así forman una progresión, pero la aritmética, es decir, cada uno de ellos más de la anterior por un determinado número.

Ejemplos de algunos problemas clásicos

Para entender mejor lo que es una progresión geométrica, con los ejemplos de decisión para el grado 9 puede ayudar.

• Términos y condiciones: a ₁ = 3, a = ₃ 48. Búsqueda q.

Solución: cada elemento sucesivo en más que el anterior q tiempo. Es necesario expresar algunos elementos a través de otra vía denominador.

En consecuencia, un ₃ = q ² · un ₁

Cuando la sustitución de q = 4

• Condiciones: a ₂ = 6, a = ₃ 12. Calcular S _6.

Solución: Para ello, basta con señalar q, el primer elemento y sustituir en la fórmula.

un ₃ = q · a _2, en consecuencia, q = 2

a ₂ = q · A _1, por lo a = ₁ 3

S = ₆ 189

• · A ₁ = 10, q = -2. Encontrar el cuarto elemento de progresión.

Solución: es suficiente para expresar el cuarto elemento a través de la primera y mediante el denominador.

₄ un ³ = q · a = ₁ -80

Ejemplo de aplicación:

• cliente del banco ha contribuido a la suma de 10.000 rublos, en virtud del cual cada año el cliente a la cantidad principal se añadirá el 6% de él sin embargo. ¿Cuánto dinero hay en la cuenta después de 4 años?

Solución: La cantidad inicial igual a 10 mil rublos. Así, un año después de que las inversiones en la cuenta será la cantidad equivalente a 10.000 + 10.000 = 10.000 · · 0,06 1,06

En consecuencia, el importe en la cuenta, incluso después de un año se puede expresar como sigue:

(10.000 · 1,06) · 10.000 · 0,06 + 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10 000

Es decir, cada año la cantidad aumentó a 1,06 veces. Por lo tanto, para encontrar el número de la cuenta después de 4 años, es suficiente para encontrar un cuarto progresión elemento que se establece el primer elemento a 10 mil, y el denominador igual a 1,06.

S = 1,06 · 1,06 · 1,06 · 1,06 · 10000 = 12625

Ejemplos de problemas en el cálculo de la suma de:

En diversos problemas usando progresión geométrica. Un ejemplo de la búsqueda de la suma se puede establecer como sigue:

a ₁ = 4, q = 2, calcular S _5.

Solución: se sabe que todos los datos necesarios para el cálculo, simplemente sustituir ellos en la fórmula.

S ₅ = 124

• a ₂ = 6, a = ₃ 18. Calcular la suma de los primeros seis elementos.

solución:

El Geom. el progreso de cada elemento de la siguiente mayor que las veces q anteriores, es decir, para calcular la cantidad que necesita saber un elemento ₁ y el denominador q.

un ₂ · q = un ₃

q = 3

Del mismo modo, la necesidad de encontrar un _1, un ₂ y complicidad q.

un ₁ · q = un ₂

a ₁ = 2

Y a continuación, basta con sustituir los datos conocidos en la cantidad fórmula.

S ₆ = 728.