Los poliedros regulares: elementos de simetría y el área

La geometría es bella porque, a diferencia de álgebra, que no siempre está claro por qué y lo que piensa, da un objeto visual. Este maravilloso mundo de los diversos órganos adornan los poliedros regulares.

Información general sobre los poliedros regulares

Según muchos, poliedros regulares, o como se les llama sólidos platónicos, poseen propiedades únicas. Con estos objetos conectados varias hipótesis científicas. Cuando se empieza a estudiar los datos geométricos del cuerpo, se da cuenta de que casi no se sabe nada acerca de un concepto como los poliedros regulares. La presentación de estos objetos en la escuela no siempre es interesante, por lo que muchos ni siquiera me acuerdo cómo se llamaban. En la memoria de la mayoría de la gente es simplemente un cubo. Ninguno de la geometría del cuerpo no posee la perfección tal como poliedros regulares. Todos los nombres de estos cuerpos geométricos se originaron de la antigua Grecia. Representan el número de caras: el tetraedro – cuatro lados, hexaedro – Allen, el octaedro – octágono, dodecaedro – dodecaedro, icosaedro – icosaédrica. Todos estos geométrica cuerpo ocupa un lugar importante en la concepción del universo de Platón. – El fuego, el icosaedro – cubo de agua – tierra, el octaedro – aire del tetraedro: cuatro de ellos son elementos o entidades encarnado. Dodecaedro encarna todas las cosas. Fue considerado el principal, como un símbolo del universo.

La generalización del concepto de un poliedro

Poliedro es un conjunto finito de polígonos tal que:

• cada uno de los lados de cualquiera de los polígonos es al mismo tiempo un solo lado de otro polígono en el mismo lado;
• de cada uno de los polígonos se puede caminar a la otra mediante el paso adyacente a la misma polígonos.

Los polígonos que constituyen el poliedro representan sus caras y sus laterales – costillas. vértices poliedros son los vértices de polígonos. Si el término polígono entender polilíneas cerradas planas, luego llegar a una definición de un poliedro. En el caso en que por este término se entiende una parte del plano que está delimitada por líneas de trazos, se entiende la superficie que consiste en piezas poligonales. poliedro convexo se llama el cuerpo tumbado sobre un lado del plano, adyacente a sus caras.

Otra definición de un poliedro y sus elementos

Poliedro llama superficie que consiste en polígonos, lo que limita el cuerpo geométrico. Ellos son:

• no convexo;
• convexa (bien y mal).

poliedro regular – es un poliedro convexo con la simetría máxima. Elementos de poliedros regulares:

• Tetrahedron: 6 costillas 4 caras 5 vértices;
• hexaedro (cubo) 12, 6, 8;
• dodecaedro 30, 12, 20;
• octaedro 12, 8, 6;
• icosaedro 30, 20, 12.

El teorema de Euler

Se establece una relación entre el número de aristas, vértices y caras son topológicamente equivalente a una esfera. Sumando el número de vértices y caras (B + D) tienen diferentes poliedros regulares y compararlos con el número de nervios, es posible establecer una regla: la suma de número de caras igual al número de vértices y aristas (P) aumentaron en 2. Es posible derivar una simple fórmula:

• B + D = P + 2.

Esta fórmula es válida para todos los poliedros convexos.

definiciones básicas

El concepto de un poliedro regular es imposible describir en una frase. Es más valorado y volumen. Un cuerpo para ser reconocido como tal, es necesario que cumpla una serie de definiciones. Por lo tanto, un cuerpo geométrico será un poliedro regular cuando se cumplen estas condiciones:

• es convexa;
• el mismo número de nervaduras converge en cada uno de sus vértices;
• todas las facetas de sus – polígonos regulares, iguales entre sí;
• Todos los ángulos diedros son iguales.

Las propiedades de los poliedros regulares

Hay 5 tipos diferentes de poliedros regulares:

1. Cube (hexaedro) – tiene un ángulo de vértice plana es de 90 °. Tiene un ángulo de 3 lados. cara Cantidad ángulos en el vértice de 270º.
2. Tetrahedron – ángulo de vértice plana de – 60 °. Tiene un ángulo de 3 lados. cara Cantidad ángulos en el vértice – 180 °.
3. Octahedron – ángulo de vértice plana de – 60 °. Tiene un ángulo de cuatro lados. cara cantidad ángulos en el vértice – 240 °.
4. Dodecahedron – un ángulo de vértice plana de 108 °. Tiene un ángulo de 3 lados. cara cantidad ángulos en el vértice – 324 °.
5. Icosaedro – que tiene un ángulo de vértice plana de – 60 °. Tiene un ángulo de cinco lados. cara Cantidad ángulos en el vértice de 300 °.

El área de poliedros regulares

El área de superficie de los cuerpos geométricos (S) se calcula como un área de polígono regular multiplicado por el número de facetas (G):

• S = (a: 2) x 2G ctg π / p.

El volumen de un poliedro regular

Este valor se calcula multiplicando el volumen de una pirámide regular cuya base es un polígono regular, el número de caras, y su altura es el radio inscrito de la esfera (r):

• V = 1: 3RS.

Los volúmenes de poliedros regulares

Al igual que cualquier otro poliedros regulares geométricas sólidas, tienen diferentes volúmenes. A continuación se presentan las fórmulas por el cual pueden calcular:

• Tetrahedron: α x 3√2: 12;
• octaedro: α x 3√2: 3;
• icosaedro; α x 3;
• hexaedro (cubo): alfa x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• dodecaedro: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Elementos de poliedros regulares

Hexahedron y octaedro son cuerpos geométricos duales. En otras palabras, pueden salir de uno al otro en caso de que el centro de gravedad de uno se toma como la parte superior de la otra, y viceversa. También son de doble icosaedro y el dodecaedro. Sólo a sí mismo tetraedro es dual. Según el método de Euclides puede ser obtenido a partir de un hexaedro dodecaedro mediante la construcción de "techos" en las caras del cubo. Los vértices del tetraedro son cualquier 4 vértices del cubo, no pares adyacentes a lo largo del borde. De hexaedro (cubo) se pueden obtener, y otros poliedros regulares. A pesar del hecho de que los polígonos regulares existen innumerables poliedros, regular, hay solamente 5 son.

Los radios de los polígonos regulares

Con cada uno de estos cuerpos geométricos son esferas concéntricas conectadas 3:

• se describe pasando a través de los vértices;
• inscrita en relación con cada una de sus caras en el centro de la misma;
• la mediana relativa a todas las aristas en el medio.

El radio de la esfera se describe por la siguiente fórmula se calcula:

• R = A: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

El radio de la esfera inscrita se calcula como sigue:

• R = A: 2 x ctg π / p x tg θ: 2,

donde θ – ángulo diedro que se encuentra entre las facetas adyacentes.

El radio medio de la esfera se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

• ρ = pi a cos / p: 2 sen π / h,

donde h = la magnitud de 4,6, 6,10 ó 10. La relación de los radios de la descrita inscrito y simétricamente con respecto a p y q. Se calcula como sigue:

• R / r = tg π / p x tg π / q.

La simetría de los poliedros

La simetría de los poliedros regulares es de interés primordial para estos cuerpos geométricos. Se entiende como movimiento del cuerpo en el espacio, lo que deja el mismo número de vértices, caras y aristas. En otras palabras, bajo la influencia de simetría transformaciones de borde, vértice, o cara conserva su posición original, o se mueve a la posición inicial de otra costilla, los otros vértices o caras.

Elementos de simetría de los poliedros regulares son comunes a todos los tipos de sólidos geométricos. Aquí se lleva a cabo en la transformación de identidad, lo que deja cualquiera de los puntos en la posición original. Por lo tanto, cuando se enciende el prisma poligonal puede obtener algunas simetrías. Cualquiera de ellos puede representar como producto de la reflexión. Simetría, que es el producto de un número par de reflexiones, llamada directa. Si es el producto de un número impar de reflexiones, entonces se llama retroalimentación. Por lo tanto, todas las vueltas alrededor de la línea recta representan la simetría. Cualquier poliedro reflexión – es la simetría inversa.

Para comprender mejor los elementos de simetría de los poliedros regulares, se puede tomar el ejemplo del tetraedro. Cualquier línea que pase a través de uno de los vértices y el centro de la forma geométrica, se llevará a cabo, y por el centro de la arista opuesta a la misma. Cada una de las vueltas 120 y 240 ° alrededor de la línea pertenece a la simetría tetraédrica plural. Ya que 4 vértices y caras, obtenemos un total de ocho simetrías directos. Cualquiera de las líneas que pasan por el centro de los bordes y el centro del cuerpo, que pase por el centro del borde opuesto. Cualquier rotación de 180 °, llamada una media vuelta alrededor de una simetría recta. Desde el tetraedro tiene tres pares de costillas, que conseguir los tres ejes de simetría. Basado en lo anterior, podemos concluir que el número total de simetría directa, e incluyendo la transformación de identidad, será de hasta doce. Otro tetraedro simetría directa no existe, pero tiene 12 simetría inversa. En consecuencia, sólo 24, caracterizado simetrías tetraedro. Para mayor claridad, podemos construir un modelo de un tetraedro regular de cartón y asegúrese de que es el cuerpo geométrico realmente tiene sólo el 24 simetría.

Dodecaedro y el icosaedro – más cercano a la zona del cuerpo. Icosaedro tiene el mayor número de caras, el ángulo diedro y sobre todo puede aferrarse firmemente a la esfera inscrita. Dodecaedro tiene el defecto más grande ángulo sólido angular más bajo en el vértice. Se puede maximizar para llenar en el ámbito circunscrito.

poliedros de barrido

exploración poliedros regulares, que todos juntos atrapados en la infancia, tiene una gran cantidad de conceptos. Si hay un conjunto de polígonos, cada lado de la cual se identifica con sólo un lado del poliedro, la identificación de las partes debe cumplir con dos condiciones:

• de cada polígono, se puede ir a un polígono que tiene la identificación de la cara;
• lado identificable debe tener la misma longitud.

Se trata de un conjunto de polígonos que cumplen estas condiciones, y se llama una exploración poliedro. Cada uno de estos cuerpos tiene varios de ellos. Por ejemplo, un cubo de los cuales hay 11 piezas.