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El derivado del seno del ángulo es igual al coseno del mismo ángulo

Dana función trigonometría sencilla y = sin (x), es diferenciable en cada punto de todo el dominio. Debemos demostrar que la derivada del seno de cualquier argumento es igual al coseno del ángulo de la misma, es decir, '= cos (x).

La prueba se basa en la definición de una función derivada

Definimos x (arbitrarias) en un pequeño entorno de un punto en particular? H x 0. Vamos a mostrar el valor de la función en ella, y en el punto x para encontrar el incremento de una función dada. Si? H – argumento incrementa, el nuevo argumento – este x 0 +? X = x, el valor de esta función para un valor dado del argumento (x) es igual Sin (x 0 +? X), el valor de la función en un punto específico (x 0) también se conoce .

Ahora tenemos? U = Sin (0 +? H x) -Sin (x 0) – función de incremento obtenido.

De acuerdo con la fórmula de la suma de seno de dos ángulos desiguales vamos a convertir la diferencia? U.

? U = sin (x 0) · cos (? H) + Cos (x 0) · Sin (? X) menos Sin (x 0) = (cos (? X) -1 ) · Sin ( x 0) + Cos (x 0) · Sin (? H).

términos de permutación realizadas agrupan primera-tercio Sin (0 x), sacado el factor común – sine – los soportes. Hemos recibido en la expresión diferencia Cos (? H) -1. Se dejó para cambiar el signo delante del paréntesis y corchetes. Saber qué es el 1-cos (? H), hacemos el cambio y obtenemos una expresión simplificada? U, que luego se divide por? H.
? U /? H tendrá la forma: Cos (x 0) · Sin (? H) /? H 2 · Sin 2 (0,5 x? H) · Sin (x 0) /? H. Esta es la relación entre el incremento de la función para la admisión al incremento del argumento.

Queda por encontrar el límite de los coeficientes obtenidos por nosotros durante lim? H, tendiendo a cero.

Se sabe que el límite Sin (? H) /? X es igual a 1, bajo la condición. Y la expresión 2 · Sin 2 (0,5 x? H) /? H en la suma resultante transformaciones particulares a producto que contiene como límite notable primer multiplicador: el numerador de la fracción y znemenatel dividir por 2, el cuadrado del seno reemplazar el producto. He aquí cómo:
(Sin (0,5 ·? X) / (0,5 ·? X)) · Sin (? X / 2).
El límite de esta expresión cuando? H tiende a cero, será igual al número de cero (0 multiplicado por 1). Resulta que el límite de la relación? Y /? H es Cos (x 0) · 1-0, esto se Cos (x 0), la expresión de que es independiente de? H tiende a 0. La conclusión: la derivada de la seno de cualquier ángulo es igual a x coseno de x, se puede escribir como: y '= Cos (x).

La fórmula resultante aparece en la tabla de los derivados conocidos, donde todas las funciones elementales

En la solución de problemas, donde se encuentra la derivada del seno, puede utilizar las reglas de diferenciación y fórmulas hechas de la tabla. Por ejemplo: encontrar la derivada de la función más simple y = 3 · Sin (x) -15. Usamos la eliminación de reglas de derivación factor numérico elemental para el signo de la derivada y calculamos el número constante derivada (que es cero). Aplicar un valor de la tabla de seno de la derivada del ángulo x igual Cos (x). Recibe la respuesta: y '= 3 · cos (x) -O. Este derivado, a su vez, es también una elemental función y = H · cos (x).

El derivado de seno al cuadrado de cualquier argumento

En el cálculo de la expresión (Sin 2 (x)) 'debe recordar función compleja forma diferenciada. Por lo tanto, 2 = sin (x) – es una función sinusoidal poder como al cuadrado. Su argumento es también una función trigonométrica, un argumento complejo. El resultado en este caso es igual al producto de la primera multiplicador es un cuadrado del complejo de derivado de la discusión, y el segundo – el derivado del seno. Aquí está la regla para derivar una función de una función: (u (v (x))) 'es (u (v (x)))' · (v (x))'. La expresión de v (x) – un argumento complejo (función interna). Si la función dada "y es igual a la sine cuadrado x", entonces la derivada de esta función compuesta es y '= 2 · Sin (x) · cos (x). El producto de la primera multiplicador doble – derivado conocido función exponencial, y Cos (x) – sinusal derivado complejo argumento de la función cuadrática. El resultado final puede ser transformada mediante el uso de la fórmula de la seno trigonométrico del ángulo doble. A: El derivado es Sin (2 · x). Esta fórmula es fácil de recordar, se utiliza a menudo como una mesa.