La integral indefinida. Cálculo de integrales indefinidas

Una de las secciones fundamentales del análisis matemático es el cálculo integral. Cubre un campo muy amplio de objetos, donde la primera – es la integral indefinida. Posición en la que se erige como una llave que se encuentra todavía en la escuela secundaria revela un creciente número de clientes potenciales y oportunidades, que describe las matemáticas superiores.

apariencia

A primera vista, parece totalmente integral moderna, tópica, pero en la práctica resulta que regresó en el año 1800 antes de Cristo. Inicio considera oficialmente a Egipto como no nos llegar a la evidencia más temprana de su existencia. Es debido a la falta de información, a la vez que coloca simplemente como un fenómeno. Se confirma una vez más el nivel de desarrollo científico de los pueblos de esos tiempos. Por último, las obras se encuentran los antiguos matemáticos griegos, que data del siglo cuarto antes de Cristo. Ellos describen el método utilizado donde la integral indefinida, la esencia de los cuales era encontrar el volumen o área de una forma curvilínea (plano tridimensional y bidimensional, respectivamente). cálculo se basó en el principio de división de la figura original en componentes infinitesimales, siempre que el volumen (área) ya se conoce a ellos. Con el tiempo, el método ha crecido, Arquímedes utilizó para calcular el área de una parábola. Cálculos similares al mismo tiempo para llevar a cabo ejercicios en la antigua China, donde estaban completamente independiente del compañero de la ciencia griega.

desarrollo

El siguiente avance en el siglo XI antes de Cristo se ha convertido en la obra del erudito árabe "carreta" Abu Ali al-Basri, que empujó los límites de lo ya conocido, se obtuvieron a partir de la fórmula integral para el cálculo de las sumas de las cantidades y grados desde la primera hasta la cuarta, la aplicación de este conocido por nosotros método de inducción. integral indefinida
Mentes de hoy son admiradas por los antiguos egipcios crearon los monumentos sorprendentes y sin necesidad de herramientas especiales, a excepción de la de sus propias manos, pero es no es una potencia científicos locos de la no menos tiempo que un milagro? En comparación con los tiempos actuales de sus vidas parecen casi primitivo, pero la decisión de integrales indefinidas deduce de todo el mundo y se utiliza en la práctica para un mayor desarrollo.

El siguiente paso tuvo lugar en el siglo XVI, cuando el matemático italiano Cavalieri trajo método de indivisibles, que recogió por Ferma. Estos dos personalidad sentó las bases para el cálculo integral moderna, que se conoce por el momento. Ataron los conceptos de diferenciación e integración, que se consideraban anteriormente como unidades autónomas. En general, las matemáticas de que el tiempo fue de partículas fragmentadas existen hallazgos por sí mismos, con un uso limitado. Manera de unir y encontrar un terreno común era la única verdadera en el momento, gracias a él, el moderno análisis matemático tuvieron la oportunidad de crecer y desarrollarse.

Con el paso del tiempo cambia todo y el símbolo integral también. En general, fue designado científicos que, a su manera, por ejemplo, Newton utilizó un icono cuadrado, lo que puso una función integrable, o simplemente en su conjunto. decisiones integrales indefinidas Esta disparidad se prolongó hasta el siglo XVII, cuando un punto de referencia para toda la teoría matemática de análisis científico Gotfrid Leybnits introdujo un personaje tan familiar para nosotros. Alargado "S" se basa realmente en esta carta del alfabeto romano, ya que denota la suma de primitivas. El nombre de la integral obtenida gracias a Jakob Bernoulli, después de 15 años.

La definición formal

La integral indefinida depende de la definición de la primitiva, por lo que consideramos que es en el primer lugar.

Antiderivada – es la función inversa de la derivada, en la práctica se llama primitiva. De lo contrario: función primitiva de d – es una función D, que es el derivado v V '= v. Buscar primitiva es calcular la integral indefinida, y el propio proceso se llama integración.

ejemplo:

La función de s (y) = y ^3, y su S primitivo (y) = (y ^4/4).

El conjunto de todas las primitivas de la función de – esta es una integral indefinida, denotado como sigue: ∫v (x) dx.

En virtud del hecho de que V (x) – son sólo algunos función primitiva original, la expresión tiene: ∫v (x) dx = V (x) + C, donde C – constante. En virtud de la constante arbitraria se refiere a cualquier constante, ya que su derivado es cero.

propiedades

Las propiedades poseídas por la integral indefinida, esencialmente basados en la definición y las propiedades de los derivados. Ejemplos de resolución de integrales indefinidas
Tenga en cuenta los puntos clave:

derivado integral de la primitiva es primitivo en sí además de un arbitraria constante C ∫V '(x) dx = V (x) + C;
derivada de la integral de una función es la función original (∫v (x) dx) '= v (x);
constante se saca de debajo de la señal integral ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, donde k – es arbitraria;
integral, que se toma de la suma de la idénticamente igual a la suma de las integrales ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

Las dos últimas propiedades se pueden concluyeron que la integral indefinida es lineal. Debido a esto, tenemos: dy = dy + l∫w dy (y) ∫ (dy + ∫ lw (y) kv (y)) k∫v (y).

Para ver ejemplos de fijación de soluciones integrales indefinidas.

Debe encontrar la integral ∫ dx (3sinx + 4cosx):

∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx – 3cosx + C.

A partir del ejemplo se puede concluir que no sabe cómo resolver integrales indefinidas? Sólo tiene que encontrar todas las primitivas! Pero la búsqueda de los principios discutidos a continuación.

Métodos y Ejemplos

Con el fin de resolver la integral, se puede recurrir a los métodos siguientes:

listos para tomar ventaja de la mesa;
integrando por partes;
integrado mediante la sustitución de la variable;
resumiendo bajo el signo de la diferencia.

tablas

La forma más sencilla y agradable. Por el momento, el análisis matemático puede presumir bastante extensas tablas, la que se detallaban la fórmula básica de integrales indefinidas. En otras palabras, hay plantillas derivadas de usted y sólo se puede sacar provecho de ellas. Aquí está la lista de las principales posiciones de la tabla, que se pueden visualizar casi todos los casos, tiene una solución:

∫0dy = C, donde C – constante;
∫dy = y + C, donde C – constante;
∫y ^ⁿ dy = (y ⁿ ^{+ 1)} / (n + 1) + C, donde C – una constante, y n – número diferente de la unidad;
∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, donde C – constante;
^{^{∫e y dy = e y + C}} , donde C – constante;
^{^{∫k y dy = (k y /}} ln k) + C, donde C – constante;
∫cosydy = siny + C, donde C – constante;
∫sinydy = -cosy + C, donde C – constante;
∫dy / cos ² y = TGY + C, donde C – constante;
∫dy / sen ² y = -ctgy + C, donde C – constante;
∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, donde C – constante;
∫chydy = tímido + C, donde C – constante;
∫shydy = CHi + C, donde C – constante.

Si es necesario, hacer un par de pasos conducen integrando a la vista en tablas y disfrutar de la victoria. EJEMPLO: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x – 2) d (5x – 2) = 1/5 x sin (5x – 2) + C.

De acuerdo con la decisión, está claro que, por ejemplo, una mesa integrando carece multiplicador 5. Añadimos que en paralelo con esta multiplicación por 1/5 de expresión general no cambió.

Integración por partes

Considere dos funciones – Z (Y) y x (y). Deben ser continuamente diferenciable en su dominio. En uno propiedades de diferenciación tenemos: d (xz) = XDZ + zdx. La integración de ambos lados, obtenemos: ∫d (xz) = ∫ (XDZ + zdx) => = zx + ∫zdx ∫xdz.

Reescribiendo la ecuación resultante, se obtiene la fórmula, que describe el método de integración por partes: ∫zdx = zx – ∫xdz.

¿Por qué es necesario? El hecho de que algunos de los ejemplos que es posible simplificar, digamos, para reducir ∫xdz ∫zdx, si este último es cerca de la forma de tabla. Además, esta fórmula se puede utilizar más de una vez, para obtener resultados óptimos.

¿Cómo resolver integrales indefinidas de esta manera:

necesario calcular ∫ (s + 1) e ^2s ds

∫ (x + ^{1) e 2s ds = {z =} s + 1, dz = ds, Y = 1 ^{^{/ 2e 2s, dy = e 2x}} ds} = ((s + 1) e ^2S) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((s + 1) ^{2s e)} / 2-s ^2s / 4 + C;

debe calcular ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, Y = S, dy = ds} = GLC – ∫s x ds / S = GLC – ∫ds = SLNs -s + C = S (LNS-1) + C.

Sustitución de la variable

Este principio de resolver integrales indefinidas no son menos de la demanda que los dos anteriores, aunque complicado. El método es como sigue: Sea V (x) – la integral de alguna función v (x). En el caso de que en sí mismo integral en el Ejemplo slozhnosochinenny viene, es probable que se confunda y bajar las soluciones camino equivocado. Para evitar este cambio en la práctica de la variable x a z, en la que la expresión general simplificado visualmente mientras se mantiene la z en función de x.

En términos matemáticos, esto es como sigue: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), donde x = y ( z) – sustitución. Y, por supuesto, la función inversa z = y ^-1 (x) describe plenamente la relación y la relación de variables. Nota importante – el diferencial dx necesariamente reemplazado con un nuevo diferencial dz, ya que el cambio de variable en la integral indefinida, se colocan nuevamente en todas partes, no sólo en el integrando.

ejemplo:

debe encontrar ∫ (s + 1) / (s + ² 2s – 5) ds

Aplicar la sustitución z = (s + 1) / (s + ² 2s-5). Entonces dz = 2SDS = 2 + 2 (s + 1) ds (s + 1) ds = dz / 2. Como resultado, la siguiente expresión, que es muy fácil de calcular:

∫ (s + 1) / (s + ² 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s ² + 2s-5 | + C;

hay que encontrar la integral ∫2 ^{^s} e ^s dx

Para resolver el reescritura de la siguiente forma:

^{^{∫2 s e s ds = ∫ (}} 2e) s ds.

Denotamos por a = 2e (sustitución del argumento de este paso no es, todavía es S), damos nuestra aparentemente complicado integral de forma tabular básica:

^{∫ (2e) s ds = ∫a} s ds = a s / LNA + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 ^{^s} e ^s / ln (2 + LNE) + C = 2 ^{^s} e ^s / (ln2 + 1) + C.

Resumiendo un signo diferencial

Por lo general, este método de integrales indefinidas – el hermano gemelo del principio del cambio de variable, pero hay diferencias en el proceso de registro. Veamos con más detalle. método integrales indefinidas

Si ∫v (x) dx = V (x) + C y y = z (x), entonces ∫v (y) dy = V (y) + C.

Al mismo tiempo, no hay que olvidar las transformaciones integrales triviales, entre los cuales:

dx = d (x + a), y en el que – cada constante;
dx = (1 / a) d (ax + b), donde a – constante de nuevo, pero no cero;
xdx = 1 / 2D (x ² + b);
sinxdx = -d (cos x);
cosxdx = d (sen x).

Si consideramos el caso general en que se calcula la integral indefinida, los ejemplos se pueden subsumir bajo la fórmula general w '(x) dx = dw (x).

ejemplos:

debe encontrar ∫ (2s + 3) ² DS, DS = 1 / 2D (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² DS = 1 / 2∫ (2s + 3) ² D (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = ln | coss | + C.

Ayuda en línea

En algunos casos, el fallo de los cuales puede ser o pereza, o una necesidad urgente, puede utilizar las indicaciones en línea, o más bien, utilizar una calculadora de integrales indefinidas. A pesar de la aparente complejidad y el carácter controvertido de las integrales, la decisión está sujeta a su algoritmo específico, que se basa en el principio de "si no lo hace … entonces …". Calculadora integrales indefinidas

Por supuesto, una particularmente complejos ejemplos de una calculadora de este tipo no se dominan, ya que hay casos en los que una decisión tiene que encontrar una manera artificial "forzada" mediante la introducción de ciertos elementos en el proceso, porque los resultados son evidentes maneras de alcanzar. A pesar de la naturaleza controvertida de esta declaración, es cierto, como las matemáticas, en principio, una ciencia abstracta, y su objetivo principal considera la necesidad de potenciar las fronteras. De hecho, para un buen funcionamiento en las teorías es muy difícil para moverse hacia arriba y evolucionar, lo que no asume que los ejemplos de resolver integrales indefinidas, que nos dio – esta es la altura de oportunidades. Pero de nuevo a la parte técnica de las cosas. Al menos para comprobar los cálculos, puede utilizar el servicio en el que fue escrito para nosotros. Si hay una necesidad para el cálculo automático de expresiones complejas, entonces no tienen que recurrir a un software más grave. Debe prestar atención principalmente en el entorno de MATLAB.

solicitud

La decisión de integrales indefinidas a primera vista parece totalmente alejado de la realidad, ya que es difícil ver el uso obvio del avión. De hecho, directamente a utilizar en cualquier lugar que no se puede, pero son un elemento intermedio necesario en el proceso de retirada de las soluciones que se utilizan en la práctica. Por lo tanto, la integración de la diferenciación hacia atrás, participando así activamente en el proceso de resolución de ecuaciones. integrales indefinidas Fórmula
A su vez, estas ecuaciones tienen un impacto directo en la decisión de los problemas mecánicos, cálculo de la trayectoria y la conductividad térmica – en fin, todo lo que constituye el presente y la configuración del futuro. ejemplos integral indefinida, de las cuales hemos considerado arriba, sólo trivial a primera vista, como base para llevar a cabo más y más nuevos descubrimientos.