Eso es tangente al círculo? Las propiedades de la tangente al círculo. La tangente común a los dos círculos

Secantes, tangentes – todo esto cientos de veces se podían escuchar en las lecciones de geometría. Pero el tema de la escuela detrás, pase el año, y todo este conocimiento olvidado. ¿Qué debería recordar?

esencia

El término "tangente al círculo" señal, quizá, de todo. Pero es poco probable que todo va a formular una definición rápida. Mientras tanto llamado una línea tangente situada en el mismo plano que el círculo que interseca que en un solo punto. Su miríada puede existir, pero todos ellos tienen las mismas propiedades, que serán discutidos más adelante. Como se puede adivinar, el punto de contacto se refiere al lugar donde el círculo y la línea se cruzan. En cada caso, es uno, si hay más, entonces será transversal.

La historia del descubrimiento y el estudio

El concepto de una tangente apareció en los tiempos antiguos. La construcción de estas líneas para el primer círculo y, a continuación, a las elipses, parábolas e hipérbolas con una regla y un compás celebrada todavía en las primeras etapas del desarrollo de la geometría. Por supuesto, la historia no ha conservado el nombre del descubridor, pero está claro que incluso en ese momento la gente estaba bien conocidas propiedades de la tangente al círculo.

En los tiempos modernos el interés por este fenómeno estalló de nuevo – se inició una nueva ronda de estudio de este concepto en conjunción con la apertura de nuevas curvas. Por lo tanto, Galileo introdujo el concepto de cicloide y Fermat y Descartes construyó una tangente a la misma. En cuanto a los círculos, al parecer, es de los secretos antiguos que quedan en esta zona.

propiedades

Radio trazado hasta el punto de intersección será perpendicular a la línea. este principal, pero no la única propiedad que es tangente al círculo. Otra característica importante ya incluye dos partidos consecutivos. Así, a través de un solo punto, que se encuentra fuera del círculo, es posible extraer dos tangentes, y sus longitudes son iguales. Hay otro teorema sobre este tema, pero rara vez se lleva a cabo en el marco del curso estándar, pero es extremadamente útil para resolver ciertos problemas. Se va de la siguiente manera. Desde un punto situado fuera del círculo, trazar una tangente y secante a la misma. segmentos formados AB, AC y AD. A – la intersección de líneas, B el punto de tangencia, C y D – cruce. En este caso, la siguiente ecuación es válida: la longitud de la tangente al círculo, cuadrado, es igual al producto de los segmentos AC y AD.

A partir de lo anterior, existe un corolario importante. Para cada punto del círculo, se puede construir una tangente, pero sólo uno. La prueba de esto es bastante simple: en teoría, a fin de cuentas perpendicular desde el radio, nos damos cuenta de que forman un triángulo no puede existir. Y esto significa que la tangente – el único.

edificio

Entre otras tareas en la geometría es una categoría especial, por regla general, no se es amado por los alumnos y estudiantes. Para resolver las tareas de esta categoría sólo se necesita una brújula y una regla. Es la tarea de la construcción. Hay que construir la tangente.

Por lo tanto, dado un círculo y un punto situado fuera de sus fronteras. Y lo que necesita para navegar a través de ellos tangente. ¿Cómo lo haces? En primer lugar, es necesario pasar el intervalo entre el centro del círculo O y el punto establecido. Luego, con la ayuda de una brújula debe dividir por la mitad. Para ello, debe establecer el radio – poco más de la mitad de la distancia entre el centro del círculo y el punto original. Luego hay que construir dos arcos de intersección. El radio en el cambio no debe ser la brújula, y el centro de cada lado del círculo será el punto original, y O, respectivamente. Lugares arcos de intersecciones que necesitan conectarse sección cortada por la mitad. Pregunte en el radio del compás igual a la distancia. Además, con el centro en la intersección de construir otro círculo. Se basa en tanto el punto original, y O. En este caso, habrá dos intersecciones con este problema en un círculo. Que van a ser puntos de contacto para el punto indicado al principio.

interesante

Se está construyendo una tangente al círculo llevó al nacimiento cálculo diferencial. El primer trabajo sobre este tema fue publicado por el famoso matemático alemán Leibniz. Se prevé la posibilidad de encontrar los máximos, mínimos y tangentes, independientemente de las cantidades fraccionarias e irracionales. Pues bien, ahora se utiliza para muchos otros cálculos.

Además, la tangente al círculo asociado con el sentido tangente geométrica. Es a partir de esto, y su nombre proviene. Traducido del tangens Latina – "tangente". Por lo tanto, este concepto no es sólo una geometría y el cálculo diferencial, pero con la trigonometría.

dos círculos

No siempre tangente zatragivet una sola figura. Si usted puede pasar un gran número de líneas de un círculo, entonces ¿por qué no al revés? Posible. Eso es sólo el problema en este caso se ve seriamente complicado, debido a que la tangente a los dos círculos no puede pasar por cualquier punto, y la posición relativa de todas estas cifras pueden ser muy diferente.

Tipos y variedades

Cuando se trata de los dos círculos y una o más líneas, a continuación, incluso si se sabe que se trata, no es claro cómo todas estas piezas están dispuestas en relación unos con otros. Sobre esta base, existen diversas variedades. Así, el círculo puede tener uno o dos puntos en común, o ninguno en absoluto. En el primer caso, se superponen, y el segundo – al tacto. Y aquí hay dos variedades. Si un círculo, ya que se incrusta en el segundo, el tacto se llama interna si no – entonces el exterior. Entender la posición relativa de las piezas no puede basarse únicamente en el dibujo, pero tener información sobre la suma de sus radios y la distancia entre sus centros. Si estos dos valores son iguales, entonces se tocan los círculos. Si la primera más – se cruzan y de otra manera – no tienen puntos comunes.

Lo mismo sucede con líneas rectas. Para cualquiera de los dos círculos que no tienen puntos comunes pueden ser
la construcción de cuatro tangentes. Dos de ellas se solaparán entre las figuras, se les llama interna. Un par de otros – externo.

Si estamos hablando de círculos, que tienen un punto en común, en serio el problema simplificado. El hecho es que en cualquier acuerdo mutuo, en este caso la tangente que tendrá una sola. Y va a pasar por el punto de intersección. Por lo que el edificio no causará dificultades.

Si las cifras son dos puntos de intersección, entonces ellos pueden ser construidos línea tangente al círculo como el uno, y el segundo, pero sólo exterior. La solución a este problema es similar a lo que se discutirá más adelante.

Responder a los retos

Tanto tangente interna y externa de los dos círculos en el edificio no son tan simples, sin embargo, y este problema se resuelve. El hecho de que el patrón auxiliar se utiliza para esto, así descubierto un método tal solo Es bastante problemático. Por lo tanto, teniendo en cuenta dos círculos con diferentes radios y centros O1 y O2. Para ellos, la necesidad de construir dos pares de tangentes.

En primer lugar, con respecto al centro del círculo más grande para construir apoyo. Al mismo tiempo, en la brújula se debe establecer la diferencia entre los radios de las dos figuras originales. Desde el centro de la tangente círculo más pequeño al auxiliar construido. Después de la de O1 y O2 se llevan a cabo estos perependikulyary recta hasta la intersección con las figuras originales. Como se desprende de las propiedades básicas de la tangente, los puntos necesarios se encuentran en ambos círculos. El problema se resuelve, al menos en su primera parte.

Con el fin de construir tangentes internos tienen que resolver casi un problema similar. Una vez más, necesitamos una figura auxiliar, pero esta vez su radio es igual a la suma de la original. Para su construcción tangente desde el centro de uno de estos círculos. El curso adicional de la decisión se puede entender a partir del ejemplo anterior.

La tangente al círculo, o incluso dos o más – no es una tarea tan difícil. Por supuesto, los matemáticos han dejado de resolver problemas similares manualmente y confiar en el cálculo de los programas especiales. Pero no creo que ahora no necesariamente sea capaz de hacerlo por sí solo, ya que para una formulación correcta de la tarea para el equipo para hacer mucho y entender. Por desgracia, existe el temor de que después de la transición final al formulario de prueba de los problemas de control de conocimientos sobre la construcción hará que los estudiantes más y más dificultades.

En cuanto a encontrar las tangentes comunes a más círculos, no siempre es posible, incluso si se encuentran en el mismo plano. Pero en algunos casos es posible encontrar una línea de este tipo.

ejemplos de la vida

La tangente común a los dos círculos se encuentra a menudo en la práctica, a pesar de que no siempre está claro. Transportadores, sistemas modulares, de transmisión de correas de poleas, la tensión del hilo en una máquina de coser, sino incluso sólo una cadena de bicicleta – todos los ejemplos de la vida. Así que no creo que los problemas geométricos quedan sólo en teoría: en la ingeniería, la física, la construcción y muchas otras áreas están en uso práctico.