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Diferenciales – ¿qué es esto? ¿Cómo encontrar el diferencial de la función?

Junto con los derivados sus funciones diferenciales – IT algunos de los conceptos básicos del cálculo diferencial, la sección principal del análisis matemático. Como inextricablemente ligado, ambos de ellos varios siglos ampliamente utilizados en la solución de casi todos los problemas que surgieron en el curso de la actividad científica y técnica.

La aparición del concepto de diferencial

Por primera vez dejado claro que un diferencial de este tipo, uno de los fundadores (junto con Isaakom Nyutonom) cálculo diferencial famoso matemático alemán Gotfrid Vilgelm Leybnits. Antes de que los matemáticos del siglo 17. utilizado idea muy claro y vago de algunos "indiviso" infinitesimal de cualquier función conocida, lo que representa un valor muy pequeño constante pero no igual a cero, por debajo del cual los valores de la función no puede ser simplemente. Por lo tanto, era sólo un paso para la introducción de las nociones de incrementos infinitesimales de argumentos de la función y sus respectivos incrementos de las funciones que se pueden expresar en términos de derivados de este último. Y este paso se dio casi al mismo tiempo los dos anteriores grandes científicos.

Sobre la base de la necesidad de abordar urgentes problemas mecánicos prácticos que se enfrenta la ciencia de rápido desarrollo de la industria y la tecnología, Newton y Leibniz crearon las formas más comunes de encontrar las funciones de la tasa de cambio (especialmente con respecto a la velocidad mecánica del cuerpo de la trayectoria conocida), lo que llevó a la introducción de estos conceptos, como la función derivada y el diferencial, y también encontraron las soluciones a los problemas algoritmo inverso como de por sí conocida (variable) velocidades de atravesar para encontrar el camino que ha llevado al concepto de integral Ala.

En las obras de idea de Leibniz y Newton principio parecía que los diferenciales – es proporcional al incremento de los argumentos básicos? H? U incrementa las funciones que se pueden aplicar con éxito para calcular el valor de este último. En otras palabras, han descubierto que una función de incremento puede ser en cualquier punto (dentro de su dominio de definición) se expresa a través de su derivado tanto? U = y '(x)? H + αΔh donde α? H – resto, tendiendo a cero como? H → 0, mucho más rápido que el? h real.

De acuerdo con los fundadores de análisis matemático, los diferenciales – esto es exactamente el primer término en incrementos de cualquier función. Incluso sin tener un claramente definidos secuencias concepto de límite se entienden intuitivamente que el valor diferencial del derivado tiende a funcionar cuando? H → 0 -? U /? H → y '(x).

A diferencia de Newton, que era principalmente un físico y un aparato matemático considerado como una herramienta auxiliar para el estudio de problemas físicos, Leibniz presta más atención a este juego de herramientas, incluyendo un sistema de símbolos visuales y comprensibles valores matemáticos. Fue él quien propuso la notación estándar de la función de los diferenciales dy = y '(x) dx, dx, y la derivada de la función argumento como su relación y' (x) = dy / dx.

La definición moderna

¿Cuál es el diferencial en términos de la matemática moderna? Está estrechamente relacionado con el concepto de un incremento variable. Si la variable y da un primer valor de y y = 1, entonces y = y 2, la diferencia y 2 ─ y 1 se llama el valor de incremento y. El incremento puede ser positivo. negativa y cero. La palabra "incremento" se designa Δ,? U grabación (léase 'delta y') denota el valor del incremento y. tan? U = y 2 ─ y 1.

Si el valor de? U función arbitraria y = f (x) se puede representar como? U = A? H + α, donde A es no dependencia de? H, t. E. A = const para el x dado, y el término α cuando? H → 0 tiende a es incluso más rápido que el actual? h, a continuación, la primera ( "master") un término proporcional? h, y es para diferencial y = f (x), denotado dy o df (x) (leer "y de", "de eff de X"). Por lo tanto diferenciales – lineal "principal" con respecto a los componentes de incrementos funciones? H.

explicación mecánica

Sea s = f (t) – la distancia en línea recta en movimiento punto material desde la posición inicial (t – tiempo de viaje). Incremento Delta S – es el punto de paso durante un intervalo de tiempo? T, y las ds diferenciales = f '(t)? T – este camino, que punto se llevaría a cabo para el mismo tiempo? T, si se retendrá la velocidad de f' (t), alcanza en el tiempo t . Cuando un ds? T ruta imaginaria infinitesimal difiere de las Delta S reales infinitesimalmente que tiene un orden superior con respecto a? T. Si la velocidad en el momento t no es igual a cero, los ds valor aproximado da pequeño punto de polarización.

interpretación geométrica

Deje que la línea L es la gráfica de y = f (x). Entonces Δ x = MQ,? U = QM '(ver. Figura siguiente). Tangente MN rompe? U cortó en dos partes, QN y NM'. Primero y? H es proporcional QN = MQ ∙ tg (Qmn ángulo) =? H f '(x), t. E QN es diferencial dy.

La segunda parte de la diferencia? U NM'daet ─ dy, cuando? H longitud → 0 NM 'disminuye incluso más rápido que el incremento del argumento, es decir, tiene el orden de pequeñez mayor que? H. En este caso, si (x) ≠ 0 (OX tangentes no paralela) segmentos de F' QM'i QN equivalentes; en otras palabras NM 'disminuye rápidamente (orden de la pequeñez de su más alto) que el incremento total? U = QM'. Esto es evidente en la Figura (segmento acercarse M'k M NM'sostavlyaet todo porcentaje QM 'segmento más pequeño).

Así, de forma gráfica diferencial función arbitraria es igual al incremento de la ordenada de la tangente.

Derivada y diferencial

Un factor en el primer término de la función de incremento de expresión es igual al valor de su derivada f '(x). Por lo tanto, la siguiente relación – dy = f '(x)? H o df (x) = f' (x)? H.

Se sabe que el incremento del argumento independiente es igual a su diferencial? H = dx. En consecuencia, podemos escribir: f '(x) dx = dy.

Encontrar (a veces dice que es la "decisión") diferenciales se lleva a cabo por las mismas reglas que para los derivados. Una lista de ellos se da a continuación.

Lo que es más universal: el incremento de la cuestión o su diferencial

Aquí es necesario hacer algunas aclaraciones. Representación de valores f '(x) diferencial? h posible al considerar x como un argumento. Sin embargo, la función puede ser un complejo, en el que x puede ser una función del argumento t. A continuación, la representación de la expresión diferencial de f '(x)? H, por regla general, es imposible; excepto en el caso de dependencia lineal x = a + b.

En cuanto a la fórmula f '(x) dx = dy, a continuación, en el caso de independiente argumento x (entonces dx =? H) en el caso de la dependencia paramétrica de x t, es diferencial.

Por ejemplo, la expresión 2 x? H es para y = x 2 su diferencial cuando x es un argumento. ahora x = t2 y asumimos t argumento. Entonces y = x 2 = t 4.

Esto es seguido por (t +? T) 2 = t 2 + 2tΔt + t2. Por lo tanto? H = 2tΔt + t2. Por lo tanto: 2xΔh = 2t 2 (2tΔt + t2).

Esta expresión no es proporcional a? T, y por lo tanto es ahora 2xΔh no está diferencial. Se puede encontrar a partir de la ecuación y = x 2 = t 4. Es igual dy = 4t 3? T.

Si tomamos el 2xdx expresión, que es el diferencial y = x 2 para cualquier argumento t. De hecho, cuando x = t 2 obtener dx = 2tΔt.

Así 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3? T, t. E. Los diferenciales de expresión registrados por dos variables diferentes coinciden.

Sustitución de incrementos diferenciales

Si f '(x) ≠ 0, entonces? U y equivalente dy (cuando? H → 0); Si f '(sentido y dy = 0) (x) = 0, no son equivalentes.

Por ejemplo, si y = x 2, a continuación,? U = (x +? H) 2 ─ x 2 = 2xΔh +? H 2 y dy = 2xΔh. Si x = 3, entonces tenemos? U = 6Δh +? H 2 y dy = 6Δh que son equivalentes debido? H 2 → 0, cuando x = 0 valor? U =? H 2 y dy = 0 no son equivalentes.

Este hecho, junto con la estructura simple de la diferencia (m. E. linealidad con respecto a? H), se utiliza a menudo en el cálculo aproximado, en el supuesto de que dy? U ≈ para pequeñas? H. Encuentra la función diferencial es generalmente más fácil que para calcular el valor exacto del incremento.

Por ejemplo, tenemos cubo metálico con el borde x = 10,00 cm. En calentar el borde alargado en? H = 0,001 cm. ¿Cómo aumento del volumen del cubo V? Tenemos V = x 2, de modo que dV = 3x 2 =? H 3 ∙ ∙ de febrero de 10 0/01 = 3 (cm 3). El aumento diferencial equivalente? V dV, de modo que? V = 3 cm 3. cálculo completo daría 3? V = 10,01 ─ de marzo de 10 = 3,003001. Pero el resultado de todos los dígitos, excepto el primero poco fiable; por lo tanto, todavía es necesario redondear hasta 3 cm 3.

Obviamente, este enfoque es útil sólo si es posible estimar el valor impartido con el error.

función diferencial: ejemplos

Vamos a tratar de encontrar el diferencial de la función y = x 3, la búsqueda de la derivada. Demos el incremento argumento? U y definimos.

? U = (? H + x) 3 ─ x 3 = 3x 2 +? H (? H 3xΔh 2 + 3).

Aquí, el coeficiente A = 3x 2 no depende de? H, de manera que el primer término es proporcional? H, el otro miembro 3xΔh? H 2 + 3 cuando? h → 0 disminuye más rápido que el incremento del argumento. En consecuencia, un miembro de 3x 2? H es el diferencial de y = x 3:

dy = 3x 2? h = 3x 2 dx o d (x 3) = 3x 2 dx.

En la que d (x 3) / dx = 3x 2.

Dy Ahora encontramos la función y = 1 / x por la derivada. Entonces d (1 / x) / dx = ─1 / x 2. Por lo tanto dy = ─? H / x 2.

Diferenciales funciones algebraicas básicas se dan a continuación.

cálculos aproximados utilizando diferencial

Para evaluar la función f (x), y su derivada f '(x) en x = a menudo es difícil, pero para hacer lo mismo en el entorno de x = a no es fácil. A continuación, acudir en ayuda de la expresión aproximada

f (a +? H) ≈ f '(a)? h + f (a).

Esto da un valor aproximado de la función en pequeños incrementos a través de su diferencial? H f '(a)? H.

Por lo tanto, esta fórmula da una expresión aproximada para la función en el punto final de una porción de una longitud? H como una suma de su valor en el punto de partida de la porción (x = a) y el diferencial en el mismo punto de partida. La exactitud del método para determinar los valores de la función de abajo ilustra el dibujo.

Sin embargo conocida y la expresión exacta para el valor de la función x = a +? H propuesta por incrementos finitos fórmula (o, alternativamente, la fórmula de Lagrange)

f (a +? H) ≈ f '(ξ)? h + f (a),

donde el punto x = a + ξ está en el intervalo desde x = a hasta x = a +? h, aunque su posición exacta es desconocida. La fórmula exacta permite evaluar el error de la fórmula aproximada. Si ponemos en la fórmula de Lagrange ξ =? H / 2, aunque deja de ser exacta, pero da, por regla general, un enfoque mucho mejor que la expresión original en términos del diferencial.

fórmulas de evaluación de error mediante la aplicación diferencial

instrumentos de medida , en principio, correcta, y llevar a los datos de medición correspondientes al error. Se caracterizan por limitar el error absoluto, o, en definitiva, el error límite – positivo, superando claramente el error en valor absoluto (o a lo sumo igual a él). Limitar el error relativo se llama el cociente obtenido al dividir por el valor absoluto del valor medido.

Deje exacta fórmula y = f (x) la función utilizada para vychislyaeniya Y, pero el valor de x es el resultado de la medición, y por lo tanto ocasiona y error. A continuación, para encontrar la limitación de error absoluto │Δu│funktsii y, utilizando la fórmula

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

donde │Δh│yavlyaetsya argumento de error marginal. │Δu│ cantidad debe ser redondeado hacia arriba, como propio cálculo inexacto es la sustitución del incremento en el cálculo diferencial.