trapezoide equilátero diagonal. ¿Cuál es la línea media del trapecio. Tipos de trapecios. Trapecio – ella ..

Trapecio – un caso especial de un cuadrilátero, en el que un par de lados es paralelo. El término "trapezoidal" se deriva de la palabra griega τράπεζα, que significa "mesa", "tabla". En este artículo vamos a ver tipos de trapecio y sus propiedades. Además, nos fijamos en la forma de calcular los elementos individuales de la figura geométrica. Por ejemplo, la diagonal de un trapecio equilátero, la línea, zona media y otros. El material contenido en la geometría elemental estilo popular, t. E. De una manera fácilmente accesible.

visión de conjunto

En primer lugar, vamos a entender lo que es un cuadrilátero. Esta cifra es un caso especial de un polígono que tiene cuatro lados y cuatro vértices. Dos vértices de un cuadrilátero, que no son adyacentes, llamados opuesta. Lo mismo puede decirse de los dos lados no adyacentes. Los principales tipos de cuadriláteros – un paralelogramo, rectángulo, rombo, cuadrado, trapecio y deltoides.

Así que de vuelta al trapecio. Como hemos dicho, esta cifra los dos lados son paralelos. Son llamados bases. Los otros dos (no paralela) – los lados. Los materiales de los diversos exámenes y exámenes muy a menudo que pueden responder a los desafíos asociados con trapezoides cuya solución requiere a menudo el conocimiento del estudiante no están cubiertos por el programa. la geometría del curso de la escuela introduce a los alumnos con propiedades y diagonales ángulos, así como la línea mediana de un trapecio isósceles. Pero aparte de eso hace referencia a una forma geométrica tiene otras características. Pero sobre ellos más adelante …

tipos de trapecio

Hay muchos tipos de esta figura. Sin embargo, con mayor frecuencia habitual considerar dos de ellos – isósceles y rectangulares.

1. rectangular trapezoide – una figura en la que uno de los lados perpendicular a la base. Ella tiene dos ángulos son siempre iguales a noventa grados.

2. trapecio isósceles – una figura geométrica cuyos lados son iguales. Así, y los ángulos en la base son también iguales.

Los principios fundamentales de métodos para estudiar las propiedades del trapecio

Los principios básicos que incluyen el uso del llamado enfoque de la tarea. De hecho, no hay necesidad de entrar en una geometría curso teórico de nuevas propiedades de esta figura. Ellos pueden ser abiertas o en el proceso de formulación de las diferentes tareas (mejor sistema). Es muy importante que el maestro sepa qué tareas hay que poner delante de los estudiantes en un momento dado del proceso de aprendizaje. Por otra parte, cada propiedad trapecio se puede representar como una tarea clave en el sistema de tareas.

El segundo principio es el llamado organización espiral del estudio "notables" propiedades de trapecio. Esto implica un retorno al proceso de aprendizaje de las características individuales de la figura geométrica. Por lo tanto, los estudiantes más fácil de recordar ellos. Por ejemplo, la propiedad de los cuatro puntos. Se puede demostrar que en el estudio de similitud y, posteriormente, usando vectores. A igual triángulos adyacentes a los lados de la figura, es posible demostrar mediante el uso de no sólo las propiedades de triángulos con alturas iguales realizados a los lados de los cuales se encuentran sobre una línea recta, sino también mediante el uso de la fórmula S = 1/2 (ab * sinα). Además, es posible calcular la ley de los senos de trapecio inscrito o triángulo rectángulo y el trapecio se describe en t. D.

El uso de "extracurricular" ofrece una figura geométrica en el contenido del curso – una tarea su enseñanza tecnología. referencia constante para estudiar las propiedades de la aprobación de la otra permite a los estudiantes aprender el trapecio más profundo y asegura el éxito de la tarea. Por lo tanto, se procede al estudio de esta notable figura.

Elementos y propiedades de un trapecio isósceles

Como hemos señalado, en esta figura geométrica lados son iguales. Sin embargo, se conoce como un trapecio derecho. Y lo que es tan notable y por eso obtuvo su nombre? Las características especiales de este gráfico se refiere que no sólo tiene lados iguales y ángulos en la base, sino también en diagonal. Además, la suma de los ángulos de un trapecio isósceles es igual a 360 grados. Pero eso no es todo! Sólo alrededor isósceles pueden ser descritos por un círculo de todos los trapezoides conocidos. Esto es debido al hecho de que la suma de los ángulos opuestos en esta figura es de 180 grados, y sólo bajo esta condición puede ser descrito como un círculo alrededor del cuadrángulo. Las siguientes propiedades de la figura geométrica es que la distancia desde la parte superior de la base a la proyección de los picos opuestos sobre la línea que contiene esta base será igual a la línea media.

Ahora vamos a ver cómo encontrar los vértices de un trapecio isósceles. Considere una solución a este problema, siempre que el tamaño de las partes conoce figura.

decisión

Es habitual para denotar las letras cuadrilátero A, B, C, D, donde la BS y BP – una fundación. En un trapecio isósceles lados son iguales. Suponemos que su tamaño es igual a dimensiones X e Y son bases y Z (menor y mayor, respectivamente). Para el cálculo del ángulo de la necesidad de gastar en la altura H. El resultado es un triángulo rectángulo ABN donde AB – la hipotenusa, y BN y AN – las piernas. Calcular el tamaño de una pata: restar de la base mayor mínima, y el resultado se divide por 2. escribir una fórmula: (ZY) / 2 = F. Ahora, para calcular el ángulo agudo de las cos función de uso triángulo. Obtenemos la siguiente entrada: cos (β) = X / F. Ahora calcular el ángulo: β = arcos (X / F). Además, conociendo una esquina, podemos determinar y en segundo lugar, para hacer esta operación aritmética elemental: 180 – β. Todos los ángulos se definen.

También hay una segunda solución de este problema. A se omite el comienzo de la esquina en la altura de la pierna N. calcula el valor de la BN. Sabemos que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Obtenemos: BN = √ (X2 F2). A continuación, utilizamos la tg función trigonométrica. El resultado es: β = arctg (BN / F). El ángulo agudo se encuentra. A continuación, definimos un ángulo obtuso como en el primer método.

La propiedad de las diagonales de un trapecio isósceles

En primer lugar, escribimos las cuatro reglas. Si la diagonal en un trapecio isósceles son perpendiculares, entonces:

– la altura de la figura es igual a la suma de bases, dividido por dos;

– su altura y la línea media son iguales;

– área del trapecio es igual al cuadrado de la altura (línea central a las bases y medio);

– el cuadrado de la diagonal de un cuadrado es igual a la mitad de la suma de dos veces las bases cuadrados o línea media (altura).

Ahora mira a la fórmula que define la diagonal de un trapezoide equilátero. Esta pieza de información se puede dividir en cuatro partes:

1. Fórmula longitud diagonal a través de su lado.

Suponemos que A es – una base inferior, B – Top, C – lados iguales, D – diagonal. En este caso, la longitud puede ser determinado como sigue:

D = √ (C 2 + A * B).

2. Fórmula para la longitud de la diagonal del coseno.

Suponemos que A es – una base inferior, B – Top, C – lados iguales, D – diagonal, α (en la base inferior) y β (la base superior) – esquinas del trapezoide. Obtenemos la siguiente fórmula, en la que se puede calcular la longitud de la diagonal:

– D = √ (A2 + S2-2A * C * cosα);

– D = √ (A2 + S2-2A * C * cosβ);

– D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);

– D = √ (B2 + S2-2V * C cosα *).

3. Fórmula longitud de la diagonal de un trapecio isósceles.

Suponemos que A es – una base inferior, B – superior, D – diagonal, M – línea media H – altura, P – área del trapezoide, α y β – el ángulo entre diagonales. Determinar la longitud de las siguientes fórmulas:

– D = √ (M2 + N2);

– D = √ (H 2 + (A + B) 2/4);

– D = √ (N (A + B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2 M * N / sinα).

Para este caso, la igualdad: sinα = sinβ.

4. Fórmula longitud diagonal a través de los lados y la altura.

Suponemos que A es – una base inferior, B – Top, C – lados, D – diagonal, H – altura, α – ángulo con la base inferior.

Determinar la longitud de las siguientes fórmulas:

– D = √ (H 2 + (A-P * ctgα) 2);

– D = √ (H 2 + (B + F ctgα *) 2);

– D = √ (A2 + S2-2A * √ (C2-H2)).

Elementos y propiedades de un trapecio rectangular

Veamos lo que está interesado en esta figura geométrica. Como hemos dicho, tenemos un trapecio rectangular de dos ángulos rectos.

Además de la definición clásica, hay otros. Por ejemplo, un trapecio rectangular – un trapecio en el que un lado es perpendicular a la base. O la forma de tener a los ángulos laterales. En este tipo de altura trapezoides es el lado que es perpendicular a las bases. La línea media – un segmento que conecta los puntos medios de las dos partes. La propiedad de dicho elemento es que es paralelo a las bases e igual a la mitad de su suma.

Ahora vamos a considerar las fórmulas básicas que definen las formas geométricas. Para ello, se supone que A y B – base; C (perpendicular a la base) y D – lados del trapecio rectangular, M – línea media, α – ángulo agudo, P – zona.

1. El lado perpendicular a las bases, una cifra igual a la altura (C = N), y es igual a la longitud del segundo lado A y el seno de los α ángulo en una base mayor (C = A * sinα). Además, es igual al producto de la tangente de las α ángulo agudo y la diferencia de bases: C = (A-B) * tgα.

2. El lado D (no perpendicular a la base) igual al cociente de la diferencia de A y B y el coseno (α) o un ángulo agudo con respecto a la altura privada figuras H y el ángulo agudo sine: A = (A-B) / cos α = C / sinα.

3. El lado que es perpendicular a las bases, es igual a la raíz cuadrada del cuadrado de la diferencia D – el segundo lado – y una base de las diferencias cuadrados:

C = √ (q2 (A-B) 2).

4. Side Un trapecio rectangular es igual a la raíz cuadrada de una suma cuadrada de un lado cuadrado y bases C geométrica de diferencia de forma: D = √ (C 2 + (A-B) 2).

5. El lado C es igual al cociente de la plaza el doble de la suma de sus bases: C = P / M = 2P / (A + B).

6. El área definida por el producto M (la línea central del trapecio rectangular) en altura o dirección lateral perpendicular a las bases: P = M * N = M * C.

7. Posición C es el cociente de dos veces la forma cuadrada por el producto ángulo sine aguda y la suma de sus bases: C = P / M * sinα = 2P / ((A + B) * sinα).

8. lado Fórmula de un trapecio rectangular a través de su diagonal, y el ángulo entre ellos:

– sinα = sinβ;

– C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,

donde D1 y D2 – diagonal del trapezoide; α y β – el ángulo entre ellos.

9. lado Fórmula través de un ángulo en la base inferior y otros: A = (A-B) / cosα = C / sinα = H / sinα.

Puesto que el trapecio con ángulo recto es un caso particular del trapecio, las otras fórmulas que determinan estas figuras, se encuentran y rectangular.

propiedades incircle

Si la condición se dice que en un círculo inscrito trapecio rectangular, a continuación, puede utilizar las siguientes propiedades:

– la cantidad de la base es la suma de los lados;

– distancia de la parte superior de la forma rectangular de los puntos de tangencia del círculo inscrito es siempre igual;

– altura del trapecio es igual al lado, perpendicular a las bases, y es igual al diámetro del círculo ;

– el centro del círculo es el punto en el que se cortan las bisectrices de los ángulos ;

– si el lado lateral del punto de contacto se divide en longitudes de N y M, entonces el radio del círculo es igual a la raíz cuadrada del producto de estos segmentos;

– cuadrilátero formado por los puntos de contacto, la parte superior del trapezoide y el centro del círculo inscrito – es un cuadrado, cuyo lado es igual al radio;

– área de la figura es el producto de la razón y el producto de la semisuma de las bases en su apogeo.

trapecio similares

Este tema es muy útil para estudiar las propiedades de las figuras geométricas. Por ejemplo, la división diagonal en cuatro triángulos trapezoide, y son adyacentes a la base de similares, y a los lados – de igual. Esta declaración se puede llamar una propiedad de los triángulos, que es el trapecio roto sus diagonales. La primera parte de esta afirmación se demuestra a través de la señal de la similitud de las dos esquinas. Para probar la segunda parte es mejor usar el método descrito a continuación.

la prueba

Aceptar que figura ABSD (AD y BC – la base del trapecio) es diagonales rotas HP y AC. El punto de intersección – O. Nos conseguir cuatro triángulos AOC: – en la base inferior, BOS – la base superior, ABO y SOD en los laterales. Triángulos SOD y biofeedback tienen una altura común en ese caso, si los segmentos de BO y OD son sus bases. Encontramos que la diferencia de sus zonas (P) igual a la diferencia de estos segmentos: las OBP / pSOD = BO / ML = K. En consecuencia, pSOD = OBP / K. Del mismo modo, la triángulos AOB y el biofeedback tienen una altura común. Aceptado para sus segmentos base SB y OA. Obtenemos las OBP / PAOB = CO / OA = K y PAOB = OBP / K. De esto se deduce que pSOD = PAOB.

Para consolidar Se anima a los estudiantes materiales de encontrar una conexión entre las áreas de los triángulos obtenidos, que es el trapecio roto sus diagonales, decidiendo la siguiente tarea. Se sabe que las áreas de los triángulos BOS y ADP son iguales, es necesario encontrar el área de un trapecio. Desde pSOD = PAOB, entonces PABSD OBP + = EAOP + 2 * pSOD. A partir de la similitud de los triángulos BOS y ANM siguiente que BO / OD = √ (OBP / EAOP). En consecuencia, las OBP / pSOD = BO / OD = √ (OBP / EAOP). Obtener pSOD = √ (* OBP AOP). Entonces PABSD OBP + = EAOP + 2 * √ (EAOP OBP *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.

propiedades similitud

Continuando con el desarrollo de este tema, es posible probar, y otras características interesantes de los trapecios. Por lo tanto, con la ayuda de la similitud puede probar el segmento de propiedad, que pasa por el punto formado por la intersección de las diagonales de la figura geométrica, paralelo al suelo. Para ello se resuelve el siguiente problema: es necesario encontrar el segmento RK longitud que pasa por el punto O. A partir de la semejanza de triángulos ADP y SPU deduce que el AO / OS = AD / BS. A partir de la similitud de los triángulos ADP y ASB siguiente que AB / AC = PO / AD = BS / (BP + BS). Esto implica que la BS * PO = AD / (AD + BC). Del mismo modo, a partir de la similitud de los triángulos MLC y ABR siguiente que OK * BP = BS / (BP + BS). Esto implica que el OC y RC = RC = 2 * BS * AD / (AD + BC). Segmento pasa por el punto de las diagonales paralelo a la base intersección y la conexión de las dos partes, el punto de intersección se divide por la mitad. Su longitud – es la media armónica de figuras razón.

Tenga en cuenta las siguientes características de un trapecio, que se llama la propiedad de cuatro puntos. el punto de intersección de las diagonales (D), la intersección de la continuación de los lados (E), así como a mediados de bases (T y G) siempre se encuentran en la misma línea. Es fácil probar el método de similitud. Los triángulos resultantes son BES similares y AED, e incluyendo cada uno una mediana ET y DLY dividen el ángulo en el vértice E en partes iguales. Por lo tanto, el punto E, T y F son colineales. Del mismo modo, en la misma línea están dispuestos en términos de T, O, y G. Esto se sigue de la similitud de los triángulos BOS y ANM. Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que los cuatro términos – E, T, S y F – se acuesta sobre una línea recta.

El uso de trapezoides similares, se puede ofrecer a los estudiantes para encontrar la longitud del segmento (LF), que divide la figura en dos similares. Este corte debe ser paralelo a las bases. Desde el LBSF ALFD trapezoide recibido y similares, la BS / LF = LF / AD. Esto implica que LF = √ (BS * BP). Llegamos a la conclusión de que el segmento que divide en dos trapecio similares, tiene una longitud igual a la media geométrica de las longitudes de las bases de la figura.

Considere la siguiente propiedad similitud. Se basa en el segmento que divide el trapecio en dos piezas de igual tamaño. Aceptar ese segmento trapecio ABSD se divide en dos EH similar. Desde la parte superior de B rebajado la altura de ese segmento se divide en dos partes ES – B1 y B2. Obtener PABSD / 2 = (BS + EH) * V1 / 2 = (AP + EH) * B2 / 2 = PABSD (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. componer aún más el sistema, en el que la primera ecuación (BS + EH) * B1 = (BP + EH) * B2 y segundo (BS + EH) * B1 = (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. Se deduce que B2 / B1 = (BS + EH) / (BP + EH) y BS + EH = ((BS + BP) / 2) * (1 + B2 / B1). Encontramos que la longitud de dividir el trapezoide en dos iguales, igual a las longitudes medias de las bases cuadráticas: √ ((CN2 + aq2) / 2).

conclusiones de similitud

Por lo tanto, hemos demostrado que:

1. El segmento de conexión medio de la trapezoide en los lados laterales, paralela a BP y BS y BS es la media aritmética y (longitud de la base de un trapecio) BP.

2. La barra pasa por el punto O de intersección de las diagonales AD paralelo y BC será igual a los números de media armónica de BP y BS (2 * BS * AD / (AD + BC)).

3. El segmento de romper en trapezoide similares tiene una longitud media geométrica bases BS y BP.

4. El elemento que divide la forma en dos tamaño igual, una longitud media números cuadrados BP y BS.

Para consolidar el material y el conocimiento de los vínculos entre los segmentos del estudiante es necesaria la construcción de ellos para el trapezoide específica. Él puede mostrar fácilmente la línea media y el segmento que pasa por el punto – la intersección de las diagonales de las figuras – paralelo al suelo. Pero, ¿dónde será el tercer y cuarto? Esta respuesta conducirá al estudiante para el descubrimiento de la relación desconocida entre los valores medios.

Segmento que une los puntos medios de las diagonales del trapecio

Considere la siguiente propiedad de la figura. Aceptamos que el segmento MN es paralelo a las bases y se divide por la mitad en diagonal. el punto de intersección se llama W y S. Este segmento será igual a la mitad de la razón diferencia. Veamos esto con más detalle. MSH – la línea media del triángulo ABS, es igual a la BS / 2. Minigap – la línea media de la DBA triángulo, es igual a AD / 2. Entonces nos encontramos con que SHSCH = minigap-MSH, por lo tanto SHSCH = AD / 2-BS / 2 = (AD + BC) / 2.

centro de gravedad

Veamos cómo definir el elemento de una figura geométrica dada. Para ello, debe ampliar la base en direcciones opuestas. ¿Qué significa? Es necesario añadir la base hasta la parte inferior superior – a cualquiera de las partes, por ejemplo, a la derecha. A prolongar menor es la longitud de la parte superior izquierda. A continuación, conecte su diagonal. El punto de intersección de este segmento con la línea central de la figura es el centro de gravedad del trapecio.

Inscritos y trapecio descrito

Lista de dejar que cuenta con este tipo de cifras:

1. Línea puede ser inscrito en un círculo sólo si es isósceles.

2. Alrededor del círculo puede ser descrito como un trapezoide, a condición de que la suma de las longitudes de sus bases es la suma de las longitudes de los lados.

Consecuencias del círculo inscrito:

1. La altura del trapecio describe siempre igual a dos veces el radio.

2. El lado del trapecio descrito se ve desde el centro del círculo en ángulo recto.

La primera consecuencia es obvia, y para probar la segunda es necesaria para establecer que el ángulo de la SOD es directa, es decir, de hecho, tampoco será fácil. Pero el conocimiento de esta propiedad permite el uso de un triángulo rectángulo para resolver problemas.

Ahora especificamos las consecuencias para el trapecio isósceles, que está inscrito en un círculo. Obtenemos que la altura es la geométricas bases medias de la figura: H = 2R = √ (BS * BP). Cumpliendo con el método básico de la solución de problemas para los trapecios (principio de dos alturas), el estudiante debe resolver la siguiente tarea. Aceptar que BT – la altura de las figuras isósceles ABSD. Es necesario encontrar tramos de AT y AP. La aplicación de la fórmula descrita anteriormente, lo hará no es difícil.

Ahora vamos a explicar cómo determinar el radio de la circunferencia de la zona descrita trapezoidal. Se omite en la altura B superior en la base BP. Puesto que el círculo inscrito en el trapezoide, la BS + 2AB = BP o AB = (BS + BP) / 2. Desde el triángulo ABN hallazgo sinα = BN / 2 * AB = BN / (AD + BC). PABSD = (BS + BP) BN * / 2, BN = 2R. Obtener PABSD = (BP + BS) * R, se deduce que R = PABSD / (AD + BC).

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Todas las fórmulas de la línea media del trapecio

Ahora es el momento de ir al último elemento de esta figura geométrica. Nosotros entendemos, lo que es la línea media del trapecio (M):

1. A través de bases: M = (A + B) / 2.

2. Después de la altura, la base y las esquinas:

• M-H = A * (ctgα + ctgβ) / 2;

• M + H = D * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. A través de una altura y entre los mismos ángulo diagonal. Por ejemplo, D1 y D2 – diagonal del trapecio; α, β – el ángulo entre ellos:

M = D1 * D2 * sinα / 2 H = D1 * D2 * sinβ / 2H.

4. Dentro de la zona y altura: M = R / N.