Péndulo: período y la aceleración de la fórmula

El sistema mecánico que consiste en un punto material (el cuerpo), que cuelga de un filamento inextensible sin peso (su masa es despreciable en comparación con el peso del cuerpo) en un campo gravitatorio uniforme, llamado el péndulo matemático (otro nombre – el oscilador). Hay otros tipos de dispositivos. En lugar de una barra sin peso de filamento se puede utilizar. Péndulo puede revelar claramente la esencia de muchos fenómenos interesantes. Cuando las pequeñas vibraciones de amplitud de su movimiento se llama armónico.

Información general sobre el sistema mecánico

La fórmula del período de oscilación del péndulo fue criado Huygens científico holandés (1629-1695 gg.). Este contemporáneo de Isaac Newton era muy aficionado a la mecánica. En 1656 se creó el primer reloj con un mecanismo de péndulo. Midieron el tiempo con una precisión extrema para esos momentos. Esta invención fue un paso importante en el desarrollo de experimentos físicos y actividades prácticas.

Si el péndulo está en una posición de equilibrio (colgando verticalmente), la fuerza de la gravedad se equilibrará por la fuerza de tensión del hilo. péndulo de plano sobre una hilos no estirables es un sistema con dos grados de libertad de comunicación. Al cambiar sólo un componente de cambio de las características de todas sus partes. Por ejemplo, si un hilo se sustituye por una varilla, a continuación, este sistema mecánico es de sólo 1 grado de libertad. ¿Cuál es, entonces, las propiedades de un péndulo matemático? En este sencillo sistema, bajo la influencia de una perturbación periódica, aparece el caos. En ese caso, cuando el punto de suspensión no se está moviendo, y oscila un péndulo hay una nueva posición de equilibrio. Si las rápidas fluctuaciones hacia arriba y abajo de este sistema mecánico se convierte en posición estable "al revés." También tiene su nombre. Se llama la Kapitza péndulo.

Las propiedades del péndulo

El péndulo tiene propiedades muy interesantes. Todos ellos están soportados por las leyes físicas conocidas. El período de oscilación del péndulo cualquier otro depende de varias circunstancias tales como el tamaño y la forma del cuerpo, la distancia entre el punto de suspensión y el centro de gravedad, distribución de peso con respecto a este punto. Por eso, la definición del período colgando cuerpo es todo un reto. Es mucho más fácil de calcular el período de un péndulo simple, cuya fórmula es la siguiente. Como resultado de la observación de estos patrones se pueden establecer en los sistemas mecánicos similares:

• Si, mientras se mantiene la misma longitud del péndulo, suspendido de una variedad de cargas, el período de la oscilación obtener el mismo, aunque su peso varía en gran medida. En consecuencia, el periodo del péndulo no depende en el peso de la carga.

• Si el sistema comienza a declinar en el péndulo no es demasiado grande, pero diferentes ángulos, que fluctuarán con el mismo periodo, pero a diferentes amplitudes. Mientras que las desviaciones del centro de equilibrio no es demasiado grandes fluctuaciones en su forma serán lo suficientemente cerca armónica. El periodo de un péndulo tal no depende de la amplitud de vibración. Esta propiedad del sistema mecánico se llama isocronismo (en "Cronos" griegos – tiempo "Izosov" – igual).

El periodo de un péndulo simple

Esta cifra representa el periodo natural de oscilación. A pesar de la formulación de complejo, el proceso en sí es muy simple. Si la longitud del hilo matemática péndulo L, y la aceleración de la gravedad g, este valor es igual:

T = 2π√L / g

Pequeño periodo de oscilaciones naturales de ninguna manera no depende de la masa del péndulo y la amplitud de oscilación. En este caso, como un péndulo matemático se mueve con longitud reducida.

Oscilaciones de un péndulo matemático

péndulo matemático oscila, que puede ser descrito por una simple ecuación diferencial:

x + ω2 sen x = 0,

donde x (t) – función desconocida (este ángulo de desviación desde la posición inferior de equilibrio en el momento t, expresado en radianes); ω – una constante positiva que se determina a partir de los parámetros del péndulo (ω = √g / L, donde g – la aceleración de la gravedad, y L – la longitud de un péndulo simple (suspensión).

Ecuación pequeñas oscilaciones cerca de la posición de equilibrio (ecuación armónico) como sigue:

x + ω2 sen x = 0

el movimiento oscilatorio del péndulo

Péndulo, lo que hace que las pequeñas oscilaciones, sinusoide en movimiento. Ecuación diferencial de segundo orden cumple todos los requisitos y parámetros de tal movimiento. Para determinar la ruta que necesita para ajustar la velocidad y coordenadas, que más tarde se determinaron constantes independientes:

x = A sen (θ ₀ +? t),

donde θ ₀ – fase inicial, A – amplitud de la oscilación, ω – frecuencia cíclica determinada a partir de las ecuaciones de movimiento.

Pendulum (fórmula para grandes amplitudes)

Este sistema mecánico, realice sus oscilaciones con una gran amplitud, que está sujeta a las leyes de tráfico más complejas. que se calculan según la fórmula para un péndulo tales:

sen x / 2 = u * sn (? t / u),

donde sn – sine Jacobi, que para u <1 es una función periódica, y para pequeñas u coincide con el simple seno trigonométrico. El valor de T se determina mediante la siguiente expresión:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

donde ε = E / mL2 (mL2 – energía del péndulo).

Determinación del período de oscilación no lineal del péndulo por la siguiente fórmula:

T = 2π / Ω,

donde Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K – integral elíptica, π – 3,14.

el movimiento de péndulo de la separatriz

Se llama trayectoria separatriz del sistema dinámico, en el que un espacio de fase de dos dimensiones. Péndulo se mueve en una forma no periódica. En el punto de tiempo infinitamente lejos que cae desde la posición superior extrema hacia una velocidad cero, y luego está ganando gradualmente. Con el tiempo se detuvo, volviendo a su posición original.

Si la amplitud de oscilación del péndulo se acerca al número pi, se dice que el movimiento en el plano de fase está cerca de la separatriz. En este caso, bajo la acción de una pequeña fuerza de conducción periódica del sistema mecánico exhibe comportamiento caótico.

En el caso de un péndulo simple de la posición de equilibrio con un ángulo cp ocurre fuerza tangencial Fτ = sen φ -mg gravedad. signo "menos" significa que el componente tangencial dirigida en la dirección opuesta a la dirección de la desviación del péndulo. Cuando se hace referencia a través de desplazamiento péndulo x a lo largo de un arco circular con un radio L es igual a su angular φ desplazamiento = x / L. La segunda ley Isaaka Nyutona, diseñado para la proyección del vector de aceleración y la fuerza dar el valor deseado:

mg τ = Fτ = -mg sen x / L

Con base en esta relación, es claro que el péndulo es un sistema no lineal, como una fuerza que tiende a volver a su posición de equilibrio, no siempre es proporcional al desplazamiento x, a sen x / L.

Sólo cuando el péndulo matemático realiza pequeñas vibraciones, es un oscilador armónico. En otras palabras, se convierte en un sistema mecánico capaz de realizar oscilaciones armónicas. Esta aproximación es válida para casi ángulos de 15-20º. Péndulo con grandes amplitudes no es armoniosa.

La ley de Newton para las pequeñas oscilaciones de un péndulo

Si el sistema mecánico realiza pequeñas oscilaciones, la ley de Newton segundo se verá así:

mg τ = Fτ = -m * g / L * x.

Sobre esta base, se puede concluir que la aceleración tangencial de un péndulo simple es proporcional a su desplazamiento con el signo "menos". Esta es una condición por la cual el sistema se convierte en un oscilador armónico. factor de proporcionalidad Módulo de entre el desplazamiento y la aceleración es igual al cuadrado de la frecuencia angular:

ω02 = g / L; ω0 = √ g / L.

Esta fórmula refleja la frecuencia natural de pequeñas oscilaciones de este tipo de péndulo. Sobre esta base,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Los cálculos basados en la ley de conservación de la energía

Propiedades oscilantes movimientos pendulares pueden describirse con la ayuda de la ley de conservación de la energía. Debe tenerse en cuenta que la energía potencial del péndulo en un campo gravitacional es:

E = mgΔh = mgL (1 – cos α) = mgL2sin2 α / 2

Llena de energía mecánica es igual al potencial y cinética máxima: Epmax = E = Ekmsx

Después de haber escrito la ley de conservación de la energía, tomando la derivada de los lados izquierdo y derecho de la ecuación:

Ep + Ek = const

Puesto que el derivado de las constantes es igual a 0, entonces (Ep + Ek) '= 0. La derivada de la suma es igual a la suma de los derivados de:

Ep '= (mg / L * x2 / 2)' = mg / 2L * 2x * x '= mg / L * v + Ek' = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) '= m / 2 * 2v * v '= mv * α,

Por lo tanto:

Mg / L * xv + MVA = v (mg / L * x + m α) = 0.

Basado en la última fórmula, encontramos: α = – g / L * x.

Aplicación práctica del péndulo matemático

La aceleración de la caída libre varía con la latitud, porque la densidad de la corteza alrededor del planeta no idénticos. Donde las rocas se producen con una densidad más alta, será ligeramente superior. Aceleración del péndulo matemático se utiliza a menudo para la exploración. En su aspecto ayuda de diferentes minerales. Simplemente contando el número de oscilaciones de un péndulo, es posible detectar el carbón o mineral en las entrañas de la Tierra. Esto se debe al hecho de que estos recursos tienen una densidad y el peso de más que yace bajo las rocas sueltas.

péndulo matemático utilizado por los estudiosos prominentes tales como Sócrates, Aristóteles, Platón, Plutarco, Arquímedes. Muchos de ellos creyeron que el sistema mecánico puede influir en el destino y la vida. Arquímedes utiliza el péndulo matemático con sus cálculos. Hoy en día, muchos ocultistas y videntes utilizan este sistema mecánico para la aplicación de sus profecías, o la búsqueda de personas desaparecidas.

El famoso astrónomo y científico francés, Flammarion para su investigación también utilizan un péndulo matemático. Afirmó que con su ayuda fue capaz de predecir el descubrimiento de un nuevo planeta, el surgimiento del meteorito de Tunguska, y otros eventos importantes. Durante la Segunda Guerra Mundial en Alemania (Berlín) trabajado como un instituto especializado del péndulo. Hoy en día, este tipo de investigación no está disponible Múnich Instituto de Parapsicología. Su trabajo con el péndulo el personal de esta institución llamada "radiesteziey".