¿Cuál es la aritmética? teorema fundamental de la aritmética. aritmética binaria

¿Cuál es la aritmética? Cuando comenzó la humanidad para utilizar números y trabajar con ellos? ¿Dónde están sus raíces de los conceptos cotidianos como los números, fracciones, restas, sumas y multiplicaciones, esa persona ha hecho una parte integral de su vida y las perspectivas? mentes griegos admiraban ciencias como las matemáticas, la aritmética y la geometría, como una hermosa sinfonía de la lógica humana.

Tal vez las matemáticas no son tan profundas como las otras ciencias, pero ¿qué pasaría con ellos, la gente se olvide de las tablas de multiplicar elementales? Familiar para nosotros el pensamiento lógico, usando números, fracciones, y otras herramientas para dar a la gente un tiempo difícil, y durante mucho tiempo no estaba disponible para nuestros antepasados. De hecho, antes del desarrollo de la aritmética ningún área del conocimiento humano no era verdaderamente científica.

Aritmética – Las matemáticas son el alfabeto

Aritmética – la ciencia de los números, con el que cualquier individuo comienza el conocido con el fascinante mundo de las matemáticas. En palabras de M. V. Lomonosov, la aritmética – esta es la puerta del aprendizaje, abriendo el camino para que Miropoznanie. Pero tiene razón, es el conocimiento de que el mundo puede ser separado del conocimiento de las letras y los números, las matemáticas y el lenguaje? Tal vez en los viejos tiempos, pero no en el mundo moderno, donde el rápido desarrollo de la ciencia y la tecnología hace sus propias leyes.

La palabra "aritmética" (gr. "Arifmos") de origen griego, significa "número". Se examina el número y todo lo que se puede asociar con ellos. Este es el mundo de los números: diversas operaciones con números, reglas numéricas, las tareas asociadas con la multiplicación, la resta, y así sucesivamente ..

En general se acepta que el paso inicial es la aritmética Matemáticas y la base sólida para las más complejas sus secciones, tales como álgebra, análisis matemático, matemáticas superiores y t. D.

El objeto principal de la aritmética

La base de la aritmética – es un entero, propiedades y leyes que se consideran los más altos aritmética o la teoría de números. De hecho, cómo se toma el enfoque correcto en la consideración de una unidad tan pequeña, como un número natural depende de la fuerza del edificio – las matemáticas.

Por lo tanto, la pregunta que es la aritmética, la respuesta es simple: es la ciencia de los números. Si, por el habitual siete, nueve, y todo esto diversa comunidad. Y así como así, y los versos más mediocres no pueden escribir sin alfabeto básico, sin la aritmética no se puede resolver incluso las tareas básicas. Es por eso que todas las ciencias han avanzado sólo después de que el desarrollo de la aritmética y las matemáticas, siendo principalmente un conjunto de supuestos.

Aritmética – la ciencia-fantasma

¿Qué es la aritmética – la ciencia natural o un fantasma? De hecho, como los antiguos filósofos griegos razonaron, no hay números, no existe ninguna cifra en realidad. Es sólo un fantasma, que se crea en el pensamiento humano cuando se ve el medio ambiente y sus procesos. De hecho, ¿cuál es el número? En ninguna parte alrededor no vemos nada de eso se podría llamar el número, más bien, el número – es una forma de explorar el mundo de la mente humana. Tal vez este estudio tenemos dentro de sí mismos? Filósofos discuten sobre esto durante muchos siglos en una fila, por lo que para dar una respuesta exhaustiva no se comprometen. De cualquier manera, la aritmética podría tomar tan firmemente su posición en el mundo moderno nadie puede ser considerado socialmente adaptado sin el conocimiento de sus fundamentos.

Como no había un número entero positivo

Por supuesto, el objeto principal de la que opera la aritmética, – número natural tal como 1, 2, 3, 4, …, 152 … etc. Aritmética de los números naturales es el resultado de la costa de los objetos ordinarios, tales como vacas en un prado. Sin embargo, la definición de "mucho" o "un poco" cuando algo ha dejado de mantener a la gente, y tuvo que inventar técnica de recuento más sofisticado.

Pero el verdadero avance se produjo cuando la mente humana ha llegado al punto que puede ser uno y el mismo número de "dos" para designar y 2 kg, y 2 de ladrillo y 2 partes. El hecho de que es necesario hacer abstracción de las formas, las características y significado de los objetos, a continuación, podemos producir algún tipo de acción con estos objetos en forma de números enteros positivos. Así nació la aritmética de los números, que se desarrolló y amplió en ocupar una posición en la sociedad más allá.

Dicho en profundidad el concepto de número, como cero y los números negativos, las fracciones, los números se refieren a los números de otras maneras, tiene una rica e interesante historia del desarrollo.

Aritméticos y prácticos egipcios

Dos antiguo compañero humano en el estudio del mundo y resolver los problemas de todos los días – esto aritmética y la geometría.

Se cree que la historia de la aritmética tiene sus orígenes en el Antiguo Oriente: India, Egipto, Babilonia y China. Así, origen egipcio papiro Rhind (llamada así porque el mismo nombre que pertenece al propietario), que se remonta hasta el siglo XX. BC, además de otros datos valiosos incluye la expansión de una fracción de la cantidad de fracciones con diferentes denominadores y numerador igual a uno.

Por ejemplo: 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365 .

Pero ¿cuál es el significado de una descomposición tan compleja? El hecho de que el enfoque de Egipto no tolera abstraída pensando en números, por el contrario, se hicieron los cálculos sólo para fines prácticos. Es decir, los egipcios se dedican a los negocios que los cálculos, únicamente con el fin de construir la tumba, por ejemplo. Fue necesario calcular la longitud de la estructura de aleta, y resultó ser una persona que se siente papiro. Como puede verse, el progreso egipcio en los cálculos se llama, en lugar masiva, la construcción, en lugar de un amor de la ciencia.

Por esta razón, los cálculos se encuentran en papiros, no pueden llamarse reflexiones sobre el tema de las fracciones. Lo más probable, es una preparación práctica, lo que ayudó a resolver más problemas con fracciones. Los antiguos egipcios no conocían la tabla de multiplicar, producido bastante largos cálculos, se extendió a cabo en muchas subtareas. Tal vez esta es una de esas subtareas. Es fácil darse cuenta de que los cálculos con estos espacios en blanco es muy lento y no muy prometedor. Tal vez por esta razón por la que no vemos una gran contribución al desarrollo de las matemáticas del antiguo Egipto.

Grecia antigua y la aritmética filosófica

Muchos de los conocimientos del Antiguo Oriente fueron logrado dominar por los antiguos griegos, conocidos por los fans de la reflexión abstracta, abstracto y filosófico. Practicarlos interesado en nada menos que los mejores teóricos y pensadores son difíciles de encontrar. Fue bueno para la ciencia porque las matemáticas no es posible ir más profundo, que no se rompa con la realidad. Por supuesto, es posible multiplicar las 10 vacas y 100 litros de leche, pero no ser capaz de moverse lejos.

Griegos que piensa profundamente dejado una huella importante en la historia, y sus obras han llegado hasta nosotros:

• Euclides y "elementos".
• Pitágoras.
• Arquímedes.
• Eratóstenes.
• Zenon.
• Anaxágoras.

Y, por supuesto, se vuelve toda la filosofía de los griegos, y especialmente los seguidores de Pitágoras casos eran tan apasionados por los números, que ellos una armonía mundo del misterio considerados. Los números han sido tan estudiado e investigado, que algunos de ellos y sus parejas le atribuyen propiedades especiales. Por ejemplo:

• Los números perfectos – los que son la suma de todos sus divisores excepto el propio número (6 = 1 + 2 + 3).
• números mascotas – estos números, uno de los cuales es la suma de todos los divisores de la segunda y viceversa (Pitágoras saben sólo uno de tales par: 220 y 284).

Los griegos, que creían que la ciencia debe ser amado, de no estar con ella por el bien de la ganancia, se han hecho grandes progresos, explorar, jugar y la adición de números. Cabe señalar que no todas sus investigaciones han sido ampliamente utilizados, algunos de ellos eran solamente "por la belleza."

pensadores orientales de la Edad Media

Del mismo modo, en la Edad Media aritmética que debe su desarrollo a los contemporáneos del este. Los indios nos dio las cifras que utilizamos activamente una cosa tal como "cero", y la variación de la posición del sistema de cálculo, la percepción moderna de costumbre. De Al-gachas, que en el siglo 15 trabajó en Samarcanda, hemos heredado los decimales, sin los cuales es difícil imaginar la aritmética moderna.

En muchos sentidos, Europa familiarizado con los logros de Oriente ha sido posible gracias a la labor del científico italiano Leonardo Fibonacci, que escribió un libro "Liber Abaci", familiarizar con las innovaciones orientales. Se ha convertido en la piedra angular del desarrollo del álgebra y la aritmética, la investigación y las actividades científicas en Europa.

aritmética de Rusia

Por último, la aritmética, ha encontrado su lugar y arraigado en Europa, comenzó a extenderse en tierra rusa. Ruso primero aritmética publicó en 1703 – era un libro sobre aritmética Leontiya Magnitskogo. Durante mucho tiempo fue el único tutorial en matemáticas. Contiene los momentos iniciales de álgebra y geometría. Las cifras, que se utilizaron en los ejemplos de primer libro de texto de Rusia de la aritmética, árabe. A pesar de los números árabes han conocido antes, en los grabados que datan del siglo 17.

El libro en sí está decorado con imágenes de Arquímedes y Pitágoras, y en la primera página – aritmética imagen como mujer. Ella se sienta en el trono, debajo de ella está escrito en la palabra hebrea para el nombre de Dios, y en los escalones que conducen al altar, inscrito con la palabra "división", "aumento", "adición", y así sucesivamente. D. Uno sólo puede imaginar lo que el valor traicionado tales verdades, que ahora se consideran comunes.

El libro de texto de 600 páginas describe como la base de la suma del producto y las tablas de multiplicar, y las aplicaciones de las ciencias de navegación.

No es sorprendente que el autor ha elegido la imagen de los pensadores griegos para su libro, porque él mismo fue cautivado por la belleza de la aritmética, diciendo: "Aritmética ha chislitelnitsa no eres hermoso, nezavistnoe …". Este enfoque de la aritmética está bien fundada, ya que es su adopción generalizada puede considerarse como el comienzo de la rápida evolución del pensamiento científico en Rusia y la educación general.

primos inquietas

número primo – es un número natural, que está a sólo 2 divisores positivos: 1 y el mismo. Todos los otros números, excepto 1 se llama compuesto. Ejemplos de números primos: 2, 3, 5, 7, 11, y todos los otros que no son divisores distintos de 1 y el número en sí.

En cuanto al número 1, es un bien escaso – hay acuerdo en que se debe considerar ni simple ni compuesto. Simple a primera vista, un simple número esconde muchos misterios no resueltos dentro de sí mismos.

Teorema de Euclides dice que un número infinito de números primos, y Eratóstenes ocurrió una aritmética "tamiz" especial, que elimina los números complicados, dejando sólo es simple.

Su esencia es hacer hincapié en el primer número recuperar, y en la posterior ponchando a aquellos que son múltiplos de la misma. Repetimos este procedimiento varias veces – y consigue una tabla de números primos.

teorema fundamental de la aritmética

Entre las observaciones acerca de los números primos necesita hacer mención especial sobre el teorema de aritmética básica.

teorema de la aritmética básica establece que cualquier número entero mayor que 1, o una simple o puede ser descompuesta en un producto de números primos hasta el orden de los factores de repetición, la única manera.

teorema fundamental de la aritmética resultó bastante engorroso, y la comprensión de que no es como sólo lo básico.

A primera vista, los números primos – concepto elemental, pero no lo es. También la física una vez considerado átomo de primaria, hasta que se encontró en el interior de un universo. Primos dedica una hermosa historia matemático Don Zagier "Los primeros cincuenta millones de números primos."

De los "tres manzanas" a las leyes deductivos

Que realmente se puede llamar una base reforzada de toda la ciencia – las leyes de la aritmética. Tal como un niño toda la faz aritmética, estudiando el número de piernas y brazos a las muñecas, el número de cubos, manzanas y así sucesivamente. D. Por lo tanto, el estudio de la aritmética, que luego progresa en reglas más complejas.

Toda nuestra vida nos presenta a las reglas de la aritmética, que eran para el hombre común el más útil de todo lo que la ciencia da. El estudio de los números – es "Aritmética-bebé", que introduce al hombre al mundo de los números como dígitos en la primera infancia.

Aritmética superior – ciencia deductiva que estudia las leyes de la aritmética. La mayoría de ellos saben que, aunque tal vez no conocemos su redacción exacta.

La ley de la suma y la multiplicación

Cualquiera de los dos números enteros a y b se pueden expresar como la suma de a + b, que es también un número natural. En cuanto a la adición, las siguientes leyes:

• Conmutativa, que dice que la permutación de los términos coloca cantidad no cambia, o a + b = b + a.
• Asociativa que dicha suma no depende de la método de agrupación de los términos en los lugares, o a + (b + c) = (a + b) + c.

Reglas de la aritmética, como sumas, – uno de los básicos, pero que se utilizan todas las ciencias, por no hablar de la vida cotidiana.

Cualquier dos números enteros a y b pueden ser expresados en el producto o una b * a * b, que es también un número natural. Para aplicar el producto a las mismas leyes conmutativa y asociativa en cuanto a la adición de:

• a * b = b * a;
• a * (b * c) = (a * b) * c.

Es interesante observar que hay una ley, que combina la suma y la multiplicación, también conocida como la distribución o la ley distributiva:

a (b + c) = ab + ac

Esta ley nos enseña a trabajar con soportes, abrirlos, por tanto, ya podemos trabajar con fórmulas más complejas. Estas son las leyes que nos conducirán a través del mundo pintoresco, pero compleja de álgebra.

Ley para la aritmética

sobre las leyes de la lógica humana que utiliza cada día, mirando el reloj y contando los billetes. Y, sin embargo, y debe hacerse en un idioma específico.

Si tenemos dos números enteros positivos A y B, a continuación, las siguientes opciones:

• a es igual a B o A = b;
• un menor que b, o un <b;
• a es mayor que b, o a> b.

De las tres opciones solo puede haber uno. La Ley fundamental, que regula el procedimiento, dijo: si a <b y b <c, entonces a <c.

También hay leyes que se unen las acciones del orden de adición y multiplicación: si a <b, entonces a + c <b + c y ac <bc.

Las leyes de la aritmética nos enseñaron a trabajar con números, signos y soportes, convertir todo en una sinfonía armoniosa de números.

sistema de numeración posicional y nonpositional

Podemos decir que los números – este es el lenguaje de las matemáticas, desde la comodidad de la que depende de muchas cosas. Hay muchos sistemas de cálculo, que, al igual que los alfabetos de diferentes idiomas diferentes.

Consideremos el sistema numérico desde el punto de vista de la influencia de la posición sobre el valor cuantitativo del dígito en esta posición. Por ejemplo, el sistema romano no es posicional, donde cada número está codificado por un conjunto específico de símbolos especiales: I / V / X / L / C / D / M. Son iguales a 1/5/10/50/100/500 / 1000. En un sistema de este tipo, la figura no cambia su definición cuantitativa, dependiendo de lo que representa: la primera, la segunda, etc. Para obtener otros números, debe agregar los básicos. Por ejemplo:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Más familiar para nosotros el sistema numérico que usa números arábigos es posicional. En dicho sistema, el número de dígitos determina el número de dígitos, por ejemplo, números de tres dígitos: 333, 567, etc. El peso de cualquier dígito depende de la posición en la que se encuentre este o aquel dígito, por ejemplo el número 8 en la segunda posición tiene un valor de 80. Esto es característico del sistema decimal, existen otros sistemas de posicionamiento, por ejemplo binarios.

Aritmética binaria

Estamos familiarizados con el sistema de cálculo decimal, que consta de números de un solo dígito y números de varios dígitos. El dígito de la izquierda en un número de varios dígitos es diez veces más grande que el de la derecha. Por lo tanto, solíamos leer 2, 17, 467, etc. Una lógica completamente diferente y enfoque para la sección, que se llama "aritmética binaria". Esto no es sorprendente, porque la aritmética binaria no se crea para la lógica humana, sino para la computadora. Si la aritmética de los números se ha producido a partir de la cuenta de objetos, que más tarde abstraído de las propiedades del objeto a la aritmética "desnudo", esto no funcionará con la computadora. Para poder compartir sus conocimientos con las computadoras, una persona tuvo que inventar un modelo de cálculo de este tipo.

La aritmética binaria funciona con un alfabeto binario, que consiste en sólo 0 y 1. Y el uso de este alfabeto se llama sistema binario del cálculo.

La diferencia entre aritmética binaria y decimal es que la importancia de la posición a la izquierda ya no es 10, sino 2 veces. Los números binarios tienen la forma 111, 1001, etc. ¿Cómo entender tales números? Por lo tanto, considere el número 1100:

1. El primer dígito de la izquierda es 1 * 8 = 8, recordando que el cuarto dígito, y por lo tanto, debe ser multiplicado por 2, obtenemos la posición 8.
2. El segundo dígito es 1 * 4 = 4 (posición 4).
3. El tercer dígito es 0 * 2 = 0 (posición 2).
4. El cuarto dígito es 0 * 1 = 0 (posición 1).
5. Por lo tanto, nuestro número es 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

Es decir, cuando cambia a un nuevo dígito a la izquierda, su significación en el sistema binario se multiplica por 2 y en decimal por 10. Este sistema tiene un menos: es un crecimiento demasiado grande de dígitos, que son necesarios para escribir números. Los ejemplos de representación de números decimales en forma de números de dos dígitos se pueden encontrar en la siguiente tabla.

Los números decimales en forma binaria se muestran a continuación.

También se utilizan los sistemas octal y hexadecimal del cálculo.

Esta misteriosa aritmética

¿Qué es la aritmética, "dos veces dos" o misterios desconocidos de los números? Como puede ver, la aritmética puede parecer simple a primera vista, pero su facilidad no obvia es engañosa. Se puede estudiar y los niños junto con tía Sova de la caricatura "aritmética-bebé", y puede sumergirse en profundamente la investigación científica de orden casi filosófico. En la historia, pasó del conteo de objetos al culto de la belleza de los números. Sólo una cosa es cierta: con el establecimiento de los postulados básicos de la aritmética, toda la ciencia puede confiar en su hombro fuerte.