La ecuación del plano: cómo hacer? Tipos de ecuaciones avión

El espacio plano se puede definir de diferentes maneras (un punto y vector, el vector y los dos puntos, tres puntos, etc.). Es con esto en mente, la ecuación avión puede tener diferentes tipos. También bajo ciertas condiciones de avión puede ser paralela, perpendicular, intersección, etc. En esta y hablará en este artículo. Vamos a aprender a hacer la ecuación general del plano y no sólo.

La forma normal de la ecuación

Supongamos que R es el espacio _3, que tiene una coordenada rectangular sistema XYZ. Definimos un vector α, que serán liberadas desde el punto de partida O. A través del extremo del vector α dibujan plano P que es perpendicular a la misma.

Denotemos P a una arbitraria punto Q = (x, y, z). El radio vector del punto Q firman carta p. La longitud del vector es igual a α p = IαI y Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Este vector unidad, que se dirige en la dirección como vector α. α, β y γ – son ángulos que se forman entre el vector y las direcciones positivas Ʋ ejes espaciales x, y, z, respectivamente. La proyección de un punto en vector QεP Ʋ es una constante que es igual a p (p, Ʋ) = p (r≥0).

La ecuación anterior es significativo cuando p = 0. El único plano n en este caso, sería cruzar el punto O (α = 0), que es el origen, y Ʋ unidad vector, lanzado desde el punto O será perpendicular a P, aunque su dirección, lo que significa que el Ʋ vector determina hasta el signo. ecuación anterior es nuestro plano P, expresada en forma de vector. Pero en vista de sus coordenadas es:

P es mayor que o igual a 0. Hemos encontrado la ecuación plano en forma normal.

La ecuación general

Si la ecuación en las coordenadas multiplicar por cualquier número que no es igual a cero, obtenemos la ecuación equivalente a esto que define el plano mismo. Que tendrá la siguiente forma:

Aquí, A, B, C – es el número de simultáneamente diferente de cero. Esta ecuación se llama la ecuación de la forma general del avión.

Las ecuaciones de los planos. casos especiales

La ecuación general puede ser modificado con condiciones adicionales. Considere algunos de ellos.

Suponga que el coeficiente A es 0. Esto indica que el plano paralelo a la Ox eje predeterminado. En este caso, la forma de la ecuación cambia: Wu + Cz + D = 0.

Del mismo modo, la forma de la ecuación y variará con las condiciones siguientes:

• En primer lugar, si B = 0, la ecuación cambios en Ax + Cz + D = 0, lo que indicaría el paralelismo al eje Oy.
• En segundo lugar, si C = 0, la ecuación se transforma en Ax + By + D = 0, es decir aproximadamente paralela al eje predeterminado Oz.
• En tercer lugar, si D = 0, la ecuación aparecerá como Ax + By + Cz = 0, lo que significaría que el plano intersecta O (el origen).
• En cuarto lugar, si A = B = 0, la ecuación cambios en Cz + D = 0, que contribuirá de paralelismo Oxy.
• En quinto lugar, si B = C = 0, la ecuación se convierte Ax + D = 0, lo que significa que el plano es paralelo al Oyz.
• En sexto lugar, si A = C = 0, la ecuación toma la forma Wu + D = 0, es decir, informará a la Oxz paralelismo.

Forma de la ecuación en segmentos

En el caso en que los números A, B, C, D diferente de cero, la forma de la ecuación (0) puede ser como sigue:

x / a + b / y + z / c = 1,

en el que a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Que recibimos como resultado de la ecuación de avión en pedazos. Cabe señalar que este plano se cruzará el eje x en el punto con coordenadas (a, 0,0), Oy – (0, b, 0), y Oz – (0,0, s).

Dada la ecuación x / a + b / y + z / c = 1, no es difícil de visualizar el plano de colocación relativa a un sistema de coordenadas predeterminado.

Las coordenadas del vector normal

El vector normal n al plano P tiene coordenadas, que son los coeficientes de la ecuación general del plano, es decir, n (A, B, C).

Con el fin de determinar las coordenadas de la normal n, es suficiente conocer la ecuación general dado plano.

Cuando se utiliza la ecuación en segmentos, que tiene la forma x / a + b / y + z / c = 1, como cuando se utiliza la ecuación general se puede coordenadas de cualquier vector normal escrito un plano dado: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Cabe señalar que el vector normal de ayudar a resolver diversos problemas. Los problemas más comunes son consistentes en planos perpendiculares o paralelas a prueba, la tarea de encontrar los ángulos entre los planos o los ángulos entre los planos y líneas rectas.

Tipo según la ecuación en el plano y las coordenadas del vector normal punto

Un vector n distinto de cero, perpendicular a un plano dado, llamado normal (normal) a un plano predeterminado.

Supongamos que en el espacio de coordenadas (sistema de coordenadas rectangulares) Oxyz establecer:

• punto de coordenadas Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ);
• cero vector n = A * i + C * B * j + k.

Es necesario hacer ecuación del plano que pasa por el punto Mₒ perpendicular a la normal n.

En el espacio que elegir cualquier punto arbitrario y denotamos M (x, y, z). Deje que el radio vector de cada punto M (x, y, z) será r = x * i + Y * Z * k el vector de radio de un Mₒ punto j +, y (hₒ, uₒ, zₒ) – rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. El punto M pertenecerá a un plano dado, si el MₒM vector sea perpendicular al vector de n. Escribimos la condición de ortogonalidad utilizando el producto escalar:

[MₒM, n] = 0.

Desde MₒM = r-rₒ, la ecuación vectorial del plano se verá así:

[R – rₒ, n] = 0.

Esta ecuación también puede tener otra forma. Para este propósito, las propiedades del producto escalar, y convierten el lado izquierdo de la ecuación. [R – rₒ, n] = [r, n] – [rₒ, n]. Si [rₒ, n] denota como s, obtenemos la siguiente ecuación: [r, n] – a = 0 o [R, n] = s, que expresa la constancia de las proyecciones sobre el vector normal del radio-vectores de los puntos dados que pertenecen avión.

Ahora se puede obtener el plano de coordenadas de registro del tipo nuestro vector ecuación [r – rₒ, n] = 0. Como r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, y n = A * i + B * j + C * k, tenemos:

Resulta que tenemos la ecuación está formado plano que pasa por el punto perpendicular a la normal n:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Tipo según la ecuación en el plano y coordenadas de dos puntos de la colineales plano vector

Definimos dos puntos arbitrarios M '(x', y 'z') y M "(x", y", z "), así como el vector (a', a", un' '').

Ahora podemos escribir la ecuación predeterminada plano que pasa por el punto M existente 'y M", y cada punto con los M coordenadas (x, y, z) paralelo a un vector dado.

Así vectores M'M x = {x 'y-y'; zz '} y M "M = {x" -X', y 'y'; z "-z '} debería ser coplanar con el vector a = (a', a "un' ''), lo que significa que (M'M M" M, a) = 0.

Así que nuestra ecuación de un plano en el espacio se verá así:

Tipo de ecuación en el plano, cruzando tres puntos

Supongamos que tenemos tres puntos: (x 'y', z '), (x', y 'z'), (x '' '' '' Tienes, z '' '), que no pertenecen a la misma línea. Es necesario escribir la ecuación del plano que pasa por los tres puntos especificados. La teoría sostiene que la geometría de este tipo de avión existe, es sólo uno y único. Desde este plano intersecta el punto (x 'y', z '), su forma de ecuación sería:

Aquí, A, B, y C son diferentes de cero al mismo tiempo. También plano dado intersecta dos puntos más (x "y", z ") y (x '' ', y' '', z '' '). A este respecto, debe llevarse a cabo este tipo de condiciones:

Ahora podemos crear un sistema uniforme de ecuaciones (lineales) con incógnitas u, v, w:

En nuestro caso x, y o z destaca punto arbitrario que satisface la ecuación (1). Teniendo en cuenta la ecuación (1) y un sistema de ecuaciones (2) y (3) el sistema de ecuaciones que se indican en la figura anterior, el satisface vector N (A, B, C), que es no trivial. Se debe a que el determinante del sistema es cero.

La ecuación (1) que tenemos, esta es la ecuación del plano. 3 puntos que realmente pasa, y es fácil de comprobar. Para ello, ampliamos el determinante por los elementos de la primera fila. De las propiedades existentes determinante deduce que nuestro plano corta simultáneamente las tres punto predeterminado originalmente (x 'y', z '), (x "y", z "), (x' '', y '' ', z' ''). Así que decidimos la tarea delante de nosotros.

ángulo diedro entre los planos

ángulo diedro es una forma geométrica espacial formado por dos semiplanos que emanan de una línea recta. En otras palabras, parte del espacio que se limita a los semiplanos.

Supongamos que tenemos dos planos con las siguientes ecuaciones:

Sabemos que el vector N = (A, B, C) y N $ ¹ $ = (A $ ¹ $, H¹, s¹) de acuerdo a los planos predeterminados son perpendiculares. En este sentido, el ángulo φ entre los vectores N y N $ ¹ $ igual ángulo (diedro), que se encuentra entre estos planos. El producto escalar está dada por:

NN¹ = | N | || N $ ¹ $ cos φ,

precisamente porque

cos = NN¹ / | N || N $ ¹ $ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A $ ² $ + s² + V ²)) * (√ (A $ ¹ $) ² + (H¹) ² + (s¹) ²)).

Es suficiente para considerar que 0≤φ≤π.

En realidad dos planos que se intersectan, forman dos ángulo (diedro):? ₁ y φ _2. Su suma es igual a pi (φ ₁ + φ ₂ = π). En cuanto a sus cosenos, sus valores absolutos son iguales, pero son diferentes signos, es decir, cos ₁ = -cos φ _2. Si en la ecuación (0) se sustituye por A, B y C de -A, -B y -C, respectivamente, la ecuación, obtenemos, determinará el mismo plano, el único ángulo φ en cos ecuación φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Será reemplazado por π-φ.

La ecuación del plano perpendicular

Llamado perpendicular plano, entre los que el ángulo es de 90 grados. Usando el material que se presenta anteriormente, podemos encontrar la ecuación de un plano perpendicular a la otra. Supongamos que tenemos dos planos: Ax + By + Cz + D = 0 y + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Podemos decir que son ortogonales si cos = 0. Esto significa que NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

La ecuación de un plano paralelo

Se hacía referencia a dos planos paralelos que no contienen puntos en común.

La condición de planos paralelos (sus ecuaciones son los mismos que en el párrafo anterior) es que los vectores de N y N $ ¹ $, que son perpendiculares a ellos, colineales. Esto significa que las siguientes condiciones se cumplen proporcionalidad:

A / A $ ¹ $ = B / C = H¹ / s¹.

Si los términos proporcionales se expanden – A / A $ ¹ $ = B / C = H¹ / s¹ = DD¹,

esto indica que el plano de datos de la misma. Esto significa que la ecuación Ax + By + Cz + D = 0 y + A¹h V¹u S¹z + + D $ ¹ $ = 0 describir un plano.

La distancia desde el punto al plano

Supongamos que tenemos un plano P, que se da por (0). Es necesario encontrar la distancia desde el punto de coordenadas (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Es necesario para llevar la ecuación en la apariencia normal del plano II para que sea:

(Ρ, v) = P (r≥0).

En este caso, ρ (x, y, z) es el radio vector de nuestro punto Q, se encuentra en n p – n es la longitud de la perpendicular, que fue lanzado desde el punto cero, v – es el vector de unidad, que está dispuesto en la dirección a.

El ρ-ρº vector de diferencia radio de un punto Q = (x, y, z), que pertenece a n y el vector de radio de un punto dado Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) es un tal vector, el valor absoluto de la proyección de los cuales en v es igual a la distancia d, que es necesario para encontrar a partir de Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) a P:

D = | (ρ ^ρ-0, v) |, pero

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) – (ρ ^0, v) = P (ρ ^0, v).

Así que resulta,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Ahora está claro que para calcular la distancia d de ₀ a Q plano P, es necesario el uso normal ecuación vista en planta, el desplazamiento a la izquierda de p, y el último lugar de x, y, z sustituto (hₒ, uₒ, zₒ).

Por lo tanto, nos encontramos con el valor absoluto de la expresión resultante que se requiere d.

Utilizando los parámetros del lenguaje, obtenemos lo obvio:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A $ ² $ + V ² + s²).

Si el punto Q especificado ₀ está en el otro lado del plano P como el origen, a continuación, entre el vector ρ-ρ ⁰ y V es un ángulo obtuso, por lo tanto:

d = – (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

En el caso cuando el punto Q ₀ en conjunto con el origen se encuentra en el mismo lado de la U, se crea el ángulo agudo, es decir:

d = (ρ-ρ ^0, v) = p – (ρ ^0, v)> 0.

El resultado es que en el primer caso (ρ ^0, v)> p, en el segundo (ρ ^0, v) <p.

Y su ecuación plano tangente

En cuanto el avión a la superficie en el punto de tangencia Mº – un plano que contiene todos los posibles tangente a la curva dibujada a través de ese punto de la superficie.

Con esta forma de la superficie de la ecuación F (x, y, z) = 0 en la ecuación de la Mº punto plano tangente tangente (Hº, Uº, zº) sería:

F _x (Hº, Uº, zº) (Hº x) + F _x (Hº, Uº, zº) (Uº y) + F _x (Hº, Uº, zº) (z-zº) = 0.

Si la superficie se establece explícitamente z = f (x, y), entonces el plano tangente se describe por la ecuación:

z-zº = f (Hº, Uº) (Hº x) + f (Hº, Uº) (y Uº).

La intersección de dos planos

En el espacio tridimensional es un sistema de coordenadas (rectangular) Oxyz, dado dos planos P 'y P' que se superponen y no coinciden. Desde cualquier plano, que está en un sistema rectangular de coordenadas definido por la ecuación general, se supone que n 'y n "se definen por las ecuaciones A'x + V'u S'z + + D' = 0 y A" + B x '+ y con "z + D" = 0. En este caso tenemos normal n '(A', B 'C') del plano P 'y el n normal "(A", B "C") del plano P'. Como nuestro avión no son paralelas y no coinciden, entonces estos vectores no están alineados. Usando el lenguaje de las matemáticas, tenemos esta condición se puede escribir como: n '≠ n "↔ (A', B 'C') ≠ (λ * Y", λ * En "λ * C"), λεR. Que la línea recta que se encuentra en la intersección P 'y P", se designa por la letra a, en este caso a = P' ∩ P".

y – una línea que consiste en una pluralidad de puntos (comunes) planos P 'y P". Esto significa que las coordenadas de cualquier punto que pertenece a la línea a, deben satisfacer simultáneamente la ecuación A'x + V'u S'z + + D '= 0 y A "x + B' z + C y" + D "= 0. Esto significa que las coordenadas del punto serán una solución particular de las siguientes ecuaciones:

El resultado es que la solución (en general) de este sistema de ecuaciones será determinar las coordenadas de cada uno de los puntos en la línea que actuará como el punto de intersección P 'y P", y determinar una línea en un sistema de coordenadas Oxyz espacio (rectangular).