Linear y la ecuación diferencial homogénea de la primera orden. ejemplos de soluciones

Creo que hay que comenzar con la historia de la herramienta matemática glorioso como ecuaciones diferenciales. Al igual que todo el cálculo diferencial e integral, estas ecuaciones fueron inventados por Newton en el siglo 17. El creía que era su descubrimiento tan importante que incluso el mensaje cifrado, que hoy en día se puede traducir como sigue: "Todas las leyes de la naturaleza descrita por las ecuaciones diferenciales." Puede parecer una exageración, pero es cierto. Cualquier ley de la física, química, biología, puede ser descrita por estas ecuaciones.

Una enorme contribución al desarrollo y la creación de la teoría de las ecuaciones diferenciales tienen las matemáticas de Euler y Lagrange. Ya en el siglo 18 que descubrieron y desarrollaron lo que hoy se estudia en los cursos universitarios de alto nivel.

Un nuevo hito en el estudio de las ecuaciones diferenciales comenzó gracias a Anri Puankare. Creó una "teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales", lo que, combinado con la teoría de funciones de variable compleja contribuyeron significativamente a la base de la topología – la ciencia del espacio y de sus propiedades.

¿Cuáles son las ecuaciones diferenciales?

Mucha gente tiene miedo de la frase "ecuación diferencial". Sin embargo, en este artículo vamos a exponer en detalle la esencia de esta herramienta matemática muy útil que en realidad no es tan complicado como parece desde el título. Con el fin de empezar a hablar de una ecuación diferencial de primer orden, primero debe familiarizarse con los conceptos básicos que son inherentemente asociados con esta definición. Y vamos a empezar con el diferencial.

diferencial

Mucha gente conoce este término desde la secundaria. Sin embargo, todavía pensar en ello en detalle. Imagine la gráfica de la función. Podemos aumentar la cantidad hasta el punto de que cualquiera de su segmento se convierte en una línea recta. Que va a tomar dos puntos que son infinitamente cerca uno del otro. La diferencia entre sus coordenadas (X o Y) es infinitesimal. Y se llama diferencial y caracteres designar dy (diferencial de y) y dx (el diferencial de x). Es importante entender que el diferencial no es el valor último, y este es el significado y la función principal.

Y ahora debe tener en cuenta los siguientes elementos, que vamos a necesitar para explicar el concepto de ecuación diferencial. Es – derivado.

derivado

Todos nosotros debe haber oído en la escuela y esta noción. Dicen que la derivada – es la tasa de crecimiento o la disminución de la función. Sin embargo, esta definición se vuelve más confuso. Vamos a tratar de explicar los términos derivados de los diferenciales. Volvamos a la función de intervalo infinitesimal con dos puntos, que se encuentran a una distancia mínima entre sí. Pero incluso más allá de esta función distancia es hora de cambiar a algún valor. Y para describir que el cambio y llegar a un derivado que de otro modo se escribe como la relación de las diferencias de: f (x) '= df / dx.

Ahora bien, es necesario tener en cuenta las propiedades básicas de la derivada. Hay sólo tres:

1. suma derivado o la diferencia se pueden representar como la suma o diferencia de los derivados de: (a + b) '= a' + b 'y (ab)' = a'-b'.
2. La segunda propiedad está conectada con la multiplicación. Las obras derivadas – es la suma de los trabajos de una función a otra derivado: (a * b) '= a' * b + a * b'.
3. La derivada de la diferencia se puede escribir como la siguiente ecuación: (a / b) '= (a' * BA * b ') / b ^2.

Todas estas características son útiles para la búsqueda de soluciones a las ecuaciones diferenciales de primer orden.

También, hay derivadas parciales. Supongamos que tenemos una función de la z, que depende de las variables x e y. Para calcular la derivada parcial de esta función, por ejemplo, en x, tenemos que tomar la variable y constante y de fácil diferenciar.

integral

Otro concepto importante – integral. De hecho, es lo contrario de la derivada. Integrales de varios tipos, pero las soluciones más simples de ecuaciones diferenciales, que necesitan los más triviales integrales indefinidas.

Por lo tanto, lo que es la integral? Digamos que tenemos alguna relación f de x. Tomamos de que la integral y obtener una función F (x) (se refiere a menudo como una primitiva), que es un derivado de la función original. Por lo tanto F (x) '= f (x). Esto también implica que la integral de la derivada es igual a la función original.

En la resolución de ecuaciones diferenciales es muy importante entender el significado y la función de la integral, ya que muy a menudo tienen que tomar ellos para encontrar soluciones.

Las ecuaciones son diferentes dependiendo de su naturaleza. En la siguiente sección vamos a ver tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden y, a continuación, aprender a resolverlos.

Las clases de ecuaciones diferenciales

"Diffury" dividido por el orden de los derivados que intervienen en ellos. Así, hay una primera, segunda, tercera o más orden. También se pueden dividir en varias clases: ordinarias y parciales.

En este artículo, vamos a considerar las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Ejemplos y soluciones que discuten en las siguientes secciones. Consideramos que sólo el TAC porque son los tipos más comunes de ecuaciones. Ordinaria divide en subespecies: con variables separables, homogéneas y heterogéneas. A continuación, aprenderá cómo se diferencian unos de otros, y aprender a resolverlos.

Además, estas ecuaciones se pueden combinar, de manera que después de que conseguimos un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. Tales sistemas, también miran y aprenden cómo resolver.

¿Por qué estamos considerando sólo el primer orden? Debido a que es necesario comenzar con un simple y describir todos los asociados a las ecuaciones diferenciales, en un solo artículo es imposible.

Ecuaciones con variables separables

Este es quizás el más simples ecuaciones diferenciales de primer orden. Estos son ejemplos que se pueden escribir como: y '= f (x) * f (y). Para resolver esta ecuación necesitamos la fórmula de representación de la derivada como la relación de los diferenciales: y '= dy / dx. Con ella se obtiene la ecuación: dy / dx = f (x) * f (y). Ahora podemos cambiar el método de resolución de ejemplos estándar: separar las variables en partes, es decir, el avance rápido toda la variable y en la parte donde hay dy, y también hacer que la variable x … Obtenemos una ecuación de la forma: dy / f (y) = f (x) dx, que se consigue mediante la adopción de las integrales de las dos partes. No se olvide de la constante que desea colocar después de la integración.

La solución de cualquier "diffura" – es una función de x por y (en nuestro caso), o si hay una condición numérica, la respuesta es un número. Examinemos un ejemplo concreto de todo el curso de la decisión:

y '= 2y * sin (x)

Transferir las variables en diferentes direcciones:

dy / y = 2 * sin (x) dx

Desde aquí, tomar las integrales. Todos ellos se pueden encontrar en una mesa especial de integrales. Y obtenemos:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Si es necesario, podemos expresar la "y" en función de "X". Ahora podemos decir que nuestra ecuación diferencial se resuelve, si no se especifica condición. Puede ser especificado condición, por ejemplo, y (n / 2) = e. A continuación, vamos a sustituir simplemente el valor de estas variables en la decisión y encontrar el valor de la constante. En nuestro ejemplo, es 1.

ecuaciones diferenciales de primer orden homogéneo

Ahora a las partes más complejas. Homogéneos ecuaciones diferenciales de primer orden pueden ser escritos en forma general como: y '= z (x, y). Debe tenerse en cuenta que la función correcta de dos variables es uniforme, y no se puede dividir en dos, dependiendo de: z x y z de y. Compruebe si la ecuación es homogénea o no, es bastante simple: hacemos la sustitución x = k * x e y = k * y. Ahora cortamos todo k. Si se eliminan estas cartas, entonces la ecuación homogénea y se puede proceder con seguridad a su solución. De cara al futuro, decimos: el principio de la solución de estos ejemplos es también muy simple.

Tenemos que hacer que la sustitución: y = T (x) * x, donde t – una función que también depende de x. Entonces podemos expresar el derivado: y '= t' (x) * x + t. Sustitución de todo esto en nuestra ecuación original y simplificarlo, tenemos el ejemplo de la separación de variables como x t. Resolverlo y obtener la dependencia de t (x). Cuando lo conseguimos, sólo tiene que sustituir nuestra anterior sustitución y = T (x) * x. Entonces obtenemos la dependencia de y sobre x.

Para hacerlo más claro, entenderemos un ejemplo: x * y '= y x * e y / x.

Al comprobar la sustitución de toda la baja. Por lo tanto, la ecuación es muy homogénea. Ahora haga otra sustitución, hablamos de: y = T (x) * x e y '= t' (x) * x + t (x). Después de la simplificación de la siguiente ecuación: t '(x) * x = -e t. Nos decidimos a conseguir una muestra con variables separadas y ^{obtenemos: e -t = ln (C *} x). Sólo tenemos que sustituir t por y / x (ya que si y = t * x, t = y / x), y obtenemos la ^{respuesta: e -y / x = ln (} x * C).

ecuación diferencial lineal de primer orden

Es hora de considerar otro tema muy amplio. Vamos a ver las ecuaciones diferenciales de primer orden heterogéneos. ¿Cómo se diferencian de los dos anteriores? Seamos realistas. ecuaciones diferenciales de primer orden lineal en la forma general de la ecuación se puede escribir así: y '+ g (x) * y = z (x). Debe aclararse que z (x) y g (x) puede ser valores constantes.

He aquí un ejemplo: y '- y * x = x ^2.

Hay dos maneras de resolver, y que ordenan Examinemos los dos. El primero – el método de variación de constantes arbitrarias.

Para resolver la ecuación de esta manera, es necesario igualar la primera parte derecha a cero, y resolver la ecuación resultante, que después de la transferencia de las piezas se convierte en:

y '= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = xdx;

ln | y | = x ^2/2 + C;

y = e ^{x2 / 2} * ^C y = C ₁ * e ^{x2 / 2.}

Ahora bien, es necesario sustituir la constante C ₁ sobre la función v (x), que nos encontraremos.

y = v * e ^{x2 / 2.}

Dibuje un derivado de sustitución:

^{y '= v' * e x2} / ² -x * v * e ^{x2 / 2.}

Y sustituyendo estas expresiones en la ecuación original:

v '* e ^{x2 / 2} – x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Se puede ver que en el lado izquierdo de los dos términos se reducen. Si algún ejemplo de que no fue así, entonces usted ha hecho algo malo. Continuamos:

v '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Ahora resolvemos la ecuación habitual en el que desea separar las variables:

dv / dx = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

dv = x ² * e ^{– x2 / 2} dx.

Para eliminar la integral, tenemos que aplicar la integración por partes aquí. Sin embargo, este no es el tema de este artículo. Si está interesado, puede aprender por su cuenta para llevar a cabo dichas acciones. No es difícil, y con la suficiente habilidad y cuidado no es mucho tiempo.

Haciendo referencia a la segunda método la solución de las ecuaciones no homogéneas: Método de Bernoulli. ¿Qué enfoque es más rápido y más fácil – le toca a usted.

Así, en la resolución de este método, tenemos que hacer la sustitución: y = k * n. Aquí, K y N – algunas funciones dependiendo de x. A continuación, el derivado se verá como: y '= k' * n + k * n'. Sustitutos dos sustituciones en la ecuación:

k '* n + k * n ' + x * k * n = x ^2.

Grupo arriba:

k '* n + k * ( n' + x * n) = x ^2.

Ahora bien, es necesario equiparar a cero, es decir entre paréntesis. Ahora, si se combinan las dos ecuaciones resultantes, se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden que hay que resolver:

n '+ x * n = 0;

* K' n = x ^2.

La primera igualdad decidir cómo la ecuación habitual. Para ello, es necesario separar las variables:

dn / dx = x * v;

dn / n = xdx.

Tomamos la integral y obtenemos: ln (n) = x ^2/2. Entonces, si expresamos n:

n = e ^{x2 / 2.}

Ahora sustituir la ecuación resultante en la segunda ecuación:

k '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Y la transformación, se obtiene la misma ecuación que en el primer método:

dk = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

Asimismo, no hablaremos de nuevas medidas. Se dice que en un primer momento las ecuaciones diferenciales de primer orden solución provoca considerables dificultades. Sin embargo, una inmersión más profunda en el tema está empezando a ser mejor y mejor.

¿Dónde están las ecuaciones diferenciales?

ecuaciones diferenciales muy activos utilizados en la física, ya que casi todas las leyes básicas están escritas en forma diferencial, y esas fórmulas, que vemos – una solución a estas ecuaciones. En química, se utilizan por la misma razón: las leyes básicas se derivan a través de ellos. En biología, las ecuaciones diferenciales se utilizan para modelar el comportamiento de sistemas, tales como depredador – presa. También se pueden usar para crear modelos de la reproducción, por ejemplo, colonias de microorganismos.

Como las ecuaciones diferenciales ayudan en la vida?

La respuesta a esta pregunta es simple: nada. Si usted no es un científico o un ingeniero, es poco probable que van a ser útiles. Sin embargo, no está de más saber lo que la ecuación diferencial y se resuelve para el desarrollo global. Y entonces la pregunta de un hijo o hija, "lo que es una ecuación diferencial?" no le pondrá en un callejón sin salida. Bueno, si usted es un científico o ingeniero, entonces usted sabe la importancia de este tema en cualquier ciencia. Pero lo más importante, que ahora a la pregunta "¿cómo resolver la ecuación diferencial de primer orden?" usted siempre será capaz de dar una respuesta. De acuerdo, siempre es agradable cuando te das cuenta de que lo que la gente, incluso miedo de averiguarlo.

Los principales problemas en el estudio

El principal problema en la comprensión de este tema es un mal hábito de las funciones de integración y diferenciación. Si se siente incómodo ASUME derivadas e integrales, es probablemente vale más que aprender, aprender diferentes métodos de integración y diferenciación, y sólo entonces proceder al estudio del material que se ha descrito en el artículo.

Algunas personas se sorprenden al saber que dx se puede transferir, como anteriormente (en la escuela) argumentaron que la fracción dy / dx es indivisible. Luego hay que leer la literatura del derivado y de entender que es la actitud de las cantidades infinitamente pequeñas, que pueden ser manipulados en la solución de ecuaciones.

Muchas personas no se dan cuenta inmediatamente de que la solución de ecuaciones diferenciales de primer orden – esto es a menudo una función o neberuschiysya integral, y esta ilusión les da un montón de problemas.

¿Qué más se puede estudiar para entender mejor?

Lo mejor es comenzar más inmersión en el mundo del cálculo diferencial de los libros de texto especializados, por ejemplo, en el análisis matemático para los estudiantes de especialidades no matemáticas. A continuación, puede pasar a la literatura más especializada.

Se dice que, además de la diferencia, todavía hay ecuaciones integrales, por lo que siempre tendrá algo que buscan y qué estudiar.

conclusión

Esperamos que después de leer este artículo usted tendrá una idea de lo que las ecuaciones diferenciales y la forma de resolverlos correctamente.

En cualquier caso, las matemáticas en cualquier forma útil para nosotros en la vida. Se desarrolla la lógica y la atención, sin la cual todo hombre, ya que sin las manos.