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Los números reales y sus propiedades

Pitágoras afirmaba que el número es la fundación del mundo, a la par de los elementos principales. Platón creía que el número de enlaces del fenómeno y el noúmeno, lo que ayuda a conocer, a pesar y sacar conclusiones. Aritmética viene de la palabra "arifmos" – el número, el punto de partida en las matemáticas. Es posible describir cualquier objeto – de la primaria a los espacios abstractos manzana.

Necesidades como factor de desarrollo

En las etapas iniciales del desarrollo de la sociedad las necesidades de las personas limitadas por la necesidad de llevar la cuenta – .. Un saco de grano, dos bolsas de grano, etc. Para hacer esto, se números naturales, el conjunto de las cuales es una secuencia infinita de números enteros N. positivo

Más tarde, el desarrollo de las matemáticas como una ciencia, fue necesario en el campo específico de los enteros Z – que incluye los valores negativos y cero. Su aparición en el plano interno, que fue provocado por el hecho de que la contabilización inicial tenía que arreglar de alguna manera las deudas y pérdidas. A nivel científico, los números negativos han hecho posible resolver simples ecuaciones lineales. Entre otras cosas, ahora es posible una imagen del sistema trivial de coordenadas, es decir. A. Había un punto de referencia.

El siguiente paso fue la necesidad de introducir los números fraccionarios, ya que la ciencia no se detiene, más y más nuevos descubrimientos exigieron una base teórica para un nuevo crecimiento de empuje. Así que había un campo de números racionales Q.

Por último, ya no cumplen con las exigencias de la racionalidad, ya que todos los nuevos hallazgos requieren justificación. Había un campo de los números reales R, las obras de la inconmensurabilidad de ciertas cantidades debido a su irracionalidad de Euclides. Es decir, el matemático griego posicionado no sólo como un número constante, sino como un valor abstracto que se caracteriza por la relación de las magnitudes inconmensurables. Debido al hecho de que hay números reales "que vio la luz" valores tales como "pi" y "e", sin la cual no podrían haber tenido lugar la matemática moderna.

La innovación final fue de un número complejo C. respondió a una serie de preguntas y refutó postulados introducidos anteriormente. Debido a la rápida evolución de los resultados de álgebra era predecible – con números reales, la decisión de muchos problemas no era posible. Por ejemplo, gracias a los números complejos se destacaron la teoría de cuerdas y el caos ampliado ecuaciones de la hidrodinámica.

Teoría de conjuntos. cantor

El concepto de infinito siempre ha causado controversia, ya que era imposible probar o refutar. En el contexto de las matemáticas, que es operado postulados estrictamente verificados, se manifestó más claramente, más que el aspecto teológico todavía pesaba en la ciencia.

Sin embargo, a través del trabajo del matemático Georg Cantor todos los tiempos cayó en su lugar. Demostró que los conjuntos infinitos hay un conjunto infinito, y que el campo R es mayor que el campo N, dejar que los dos y no tendrá fin. A mediados del siglo XIX, sus ideas llamaron públicamente sin sentido y un crimen contra los cánones clásicos inmutables, pero el tiempo lo pone todo en su lugar.

Propiedades básicas de la campo R

Los números reales no sólo tienen las mismas propiedades que el podmozhestva que incluyen, pero se complementan con otro masshabnosti en virtud de sus elementos:

  • Zero R. existe y pertenece al campo c + = c 0 para cualquier c de R.
  • Zero existe y pertenece al campo R. c x 0 = 0 para cualquier c de R.
  • La relación c: d cuando existe d ≠ 0 y es válida para cualquier c, d de R.
  • Campo R ordenado, es decir, si c ≤ d, d ≤ c, entonces c = d para cualquier c, d de R.
  • La adición en el campo R es conmutativo, es decir, c + d = d + c, por cualquier c, d de R.
  • La multiplicación en el campo R es conmutativo, es decir, x c x d = d c para todos c, d de R.
  • La adición en el campo R es asociativa es decir, (c + d) + f = c + (d + f) para cualquier c, d, f de R.
  • La multiplicación en el campo R es asociativa es decir, (c x d) x f = C x (d x f) para cualquier c, d, f de R.
  • Para cada número de campo R opuesta a ella allí, de tal manera que c + (-c) = 0, donde c, -c de R.
  • Para cada número de campo R existe su inversa, de manera que c x c -1 = 1 donde c, c -1 de R.
  • existe Unidad y pertenece a R, de modo que el C x 1 = c, para cualquier c de R.
  • Tiene la distribución de ley de potencia, de modo que c x (d + f) = C x C x f d +, para cualquier c, d, f de R.
  • El campo de R es cero no es igual a la unidad.
  • Campo R es transitiva: si c ≤ d, d ≤ f, entonces c ≤ f para cualquier c, d, f de R.
  • En el orden R y además están interconectados: si c ≤ d, entonces c + f ≤ d + f para todos c, d, f de R.
  • En el orden de R y multiplicación vinculado: si 0 ≤ c, 0 ≤ d, a continuación, 0 ≤ c x d para cualquier c, d de R.
  • Como los números reales positivos y negativos son continuas, es decir, para cualquier c, d de R f, existe a partir de R, que c ≤ f ≤ d.

campo Módulo R

Los números reales incluyen una cosa tal como un módulo. Designado como el | f | para cualquier f en R. | f | = F, si 0 ≤ f y | f | = -f, si 0> f. Si tenemos en cuenta el módulo como un valor geométrica, es una distancia – no importa, "pasado" que como cero en sentido negativo al positivo o hacia adelante.

Los números complejos y reales. ¿Cuáles son las similitudes y diferencias?

Por y números grandes, complejos y reales – que son uno y el mismo, excepto que el primero se unió a la unidad imaginaria i, el cuadrado de los cuales es igual a -1. Elementos campos R y C pueden ser representados por la siguiente fórmula:

  • c = d + f x i, en el que d, f pertenecen al campo R, y i – unidad imaginaria.

Para obtener el c de R f en este caso simplemente supone que es cero, es decir, no sólo la parte real del número. Debido a que el campo de los números complejos tiene el mismo conjunto de características como el campo de bienes, f x i = 0 si F = 0.

Con respecto diferencias prácticas, por ejemplo en el campo R ecuación cuadrática no puede ser resuelto si el discriminante es negativo, mientras que el cuadro de C no impone esta limitación mediante la introducción de la unidad imaginaria i.

resultados

"Ladrillos" de axiomas y postulados en los que a las matemáticas de base, no cambian. En algunos de ellos debido al aumento de la información y la introducción de nuevas teorías colocado los siguientes "ladrillos", que en el futuro puede convertirse en la base para el siguiente paso. Por ejemplo, los números naturales, a pesar del hecho de que son un subconjunto del campo de bienes R, no pierde su relevancia. Es a ellos a la base de toda la aritmética elemental, que comienza con el conocimiento de un hombre de paz.

Desde un punto de vista práctico, los números reales se ven como una línea recta. Es posible elegir una dirección, para identificar el origen y el terreno de juego. Directa consiste en un número infinito de puntos, cada uno de los cuales corresponde a un único número real, independientemente de si es o no racional. A partir de la descripción está claro que estamos hablando acerca del concepto, que se basa la matemática en general, y el análisis matemático en particular.